§ 5. Интегрирование рациональных дробей

Как уже отмечалось выше, неопределенный интеграл от элементарных функций может не выражаться через элементарные функции, тем не менее, существуют широкие классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Наиболее важным среди указанных классов функций является класс рациональных дробей, или рациональных функций.

Определение 3. Рациональной функцией или рациональной дробью r(X) называют отношение двух алгебраических полиномов

P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀ и Q_m(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 +...+ b₁x + b₀

.

Определение 4. Рациональная дробь называется правильной, если степень n многочлена Pn(X), стоящего в числителе меньше степени m многочлена Qm(X) , стоящего в знаменателе.

Самой простой рациональной функцией, или дробью, является многочлен. В этом случае знаменатель дроби Qm(x) равен 1.

Неправильную рациональную дробь можно с помощью деления “столбиком” свести к правильной.

Пример: .

Деление столбиком выглядит следующим образом:

Таким образом, неправильная рациональная дробь с помощью «деления стобиком» может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Так как многочлен легко интегрируется, то вопрос об интегрировании рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Интегрирование правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами в свою очередь сводится к интегрированию следующих четырех простых рациональных дробей (иногда называемых элементарными) :

I. II. (k >1) III. IV. (m>1) .

Причем у квадратного трехчлена нет вещественных корней, т. е. , в противном случае дробь типа III или IV можно преобразовать путем разложения знаменателя к рациональным дробям типа I или II.

Первые две элементарные рациональные дроби интегрировать особенно легко, опираясь на табличные интегралы №1 и №5 и правило интегрирования №5.

1. .

2. .

Для интегрирования элементарных рациональных дробей третьего типа воспользуемся методом подстановки. Преобразуем знаменатель дроби III следующим образом:

Обозначим и сделаем подстановку ; dx = du . Используя табличный интеграл №6 и правило интегрирования №3, получаем

3.

.

С интегралом IV типа вначале поступаем аналогично

.

Далее с первым из полученных интегралов поступаем опираясь на упражнение 4, а ко второму полученному интегралу применяем частный случай метода интегрирования по частям, – интегрирование рекуррентных соотношений. Этот интеграл вычислен выше (см § 4 с.65). Аналогичный интеграл рекомендуется найти читателю в качестве упражнения.

Упражнение 7. Найти интеграл .

Итак, все четыре типа простых рациональных дробей интегрируются в элементарных функциях.

Разложение правильной дроби на простые дроби теснейшим образом связано с разложением ее знаменателя Qm(x) на простые множители. Опираясь на основную теорему алгебры, доказывается теорема о разложении многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители типа (х-а) и квадратичные множители типа (х² + px + q) ; при этом квадратичные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая для простоты старший коэффициент многочлена Qm(x) равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде

Q_m(x)=(x – a)^k... (х² + px + q)ⁱ... ,

где k ,..., i,... - суть натуральные числа .

Заметим , что если степень многочлена Qm(x) есть m, то , очевидно, сумма всех показателей k , сложенная с удвоенной суммой всех показателей i , в точности даст m

.

С помощью этого разложения получают разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Приведем без доказательства теорему о разложении.