Теорема 4. Пусть правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид

,

причем многочлены х² + pnx + qn (n = 1,2,...,i) не имеют вещественных корней, т. е. неразложимы на линейные множители.

Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей

В этом разложении

– некоторые вещественные постоянные, часть из которых может быть равна нулю.

Для определения упомянутых коэффициентов обычно пользуются методом неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем.

Зная форму разложения дроби P/Q, пишут его с буквенными коэффициентами в числителях справа. Общим знаменателем всех простых дробей разложения, очевидно, будет Q; складывая их, получим правильную дробь. Если отбросить теперь слева и справа знаменатель Q, то придем к равенству двух многочленов (m – 1) степени, тождественному относительно х. Коэффициентами при различных степенях многочлена справа будут линейные однородные многочлены относительно m коэффициентов, обозначенных буквами; приравнивая их к соответствующим численным коэффициентам многочлена Р, получим, наконец, систему m линейных уравнений, из которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того, что возможность разложения на простые дроби наперед установлена, упомянутая система никогда не может оказаться противоречивой. Больше того, так как упомянутая система уравнений имеет решение, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов многочлена Р, то ее определитель необходимо будет отличен от нуля. Иными словами, система всегда оказывается определенной. Это простое замечание попутно доказывает и единственность разложения правильной дроби на простые дроби. Рассмотрим пример.

Пусть дана дробь

.

Согласно теореме 4, для нее имеется разложение

.

Коэффициенты A,B, С, D, Е определим, исходя из тождества

2х²+2х+13= А(х²+1) ²+(Вх+С)*(х²+1) *(х-2) + (Dx+E)* (х-2).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, придем к системе из пяти уравнений

x⁴ | A+B=0

x³ | -2B+C=0

x² | 2A+B-2C+D=2

x¹ | -2B+C-2D+E=2

x⁰ | A-2C-2E=13

Решая систему, находим A = 1, B = –1, C = –2, D = –3, E = –4. Решению соответствует разложение

Алгебраический факт, который выражает теорема 4, имеет непосредственное применение к интегрированию рациональных дробей. Выше мы проинтегрировали простые дроби в элементарных функциях. Теперь мы то же самое можем сказать о любой рациональной дроби. Для этого случая имеем

.

Если внимательно всмотреться в те функции, через которые выражаются интегралы от целого многочлена и от элементарных дробей, то можно сформулировать более точный результат.

Теорема 5. Интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном виде – с помощью рациональной же функции, логарифма и арктангенса.

►Действительно, любую рациональную функцию мы можем представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби . В свою очередь правильная рациональная дробь , на основании теоремы 4, может быть представлена в виде суммы элементарных рациональных дробей. Таким образом, любую рациональную функцию мы можем представить в виде суммы алгебраического многочлена и элементарных рациональных дробей. Следовательно, интеграл от рациональной функции, по свойству интегрирования № 3 , распадается на сумму интегралов от алгебраического многочлена и элементарных рациональных дробей. Как было показано выше, алгебраический многочлен и элементарные рациональные дроби интегрируемы и интеграл от них представим в виде суммы рациональной же функции, логарифмов и арктангенсов. Что и доказывает теорему. ◄