5. Построение регрессионной модели в виде степенной функции

5.1. Расчет коэффициентов регрессии

Уравнение регрессии в виде степенной функции применительно к полному трехфакторному эксперименту записывается следующим образом:

, (29)

где а₁, а₂, а₃, а₁₂, а₁₃, а₂₃, a₁₂₃ – коэффициенты.

После логарифмирования обеих частей уравнения (29) получим:

(30)

Введем следующие обозначения:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тогда уравнение (30) запишется в виде:

(31)

По форме записи уравнение (31) полностью аналогично уравнению (15).

После нахождения в уравнении (31) неизвестных коэффициентов b₁, b₂, b₃, b₁₂, b₁₃, b₂₃, b₁₂₃ следует произвести обратную замену переменных:

. (32)

Коэффициенты в уравнении (31) рассчитываются по зависимости:

(33)

где Z_u – новая переменная,

– среднее значение функции отклика в u-м опыте (табл. 4).

Расширенная матрица планирования для расчета коэффициентов в уравнении регрессии (31) имеет вид, показанный в табл. 9.

Таблица 9

Пример составления расширенной матрицы плана ПФЭ 2³ для регрессионной модели в виде степенной функции (31)

Номер опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4 = Х1 Х2	Х5 = Х1 Х3	Х6= Х2 Х3	Х7 = Х1Х2Х3	, г/см2
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	0,383	-0,961
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	0,281	-1,271
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	0,232	-1,459
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	0,297	-1,215
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	0,078	-2,551
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	0,131	-2,035
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	0,059	-2,823
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	0,084	-2,48

Рассчитаем коэффициенты в уравнении (31) по зависимости (33) с учетом знаков Х_i в столбцах табл. 9:

Таким образом, получены следующие значения коэффициентов в регрессионном уравнении (31) (табл. 10):

Таблица 10

Пример оформления сводной таблицы с вычисленными значениями коэффициентов в регрессионном уравнении (31)

b0	b1	b2	b3	b12 = b4	b13 = b5	b23 = b6	b123 = b7
-1,849	0,099	-0,145	-0,623	0,048	0,116	-0,034	-0,091

В уравнении (31) использована замена переменных, при которой изменяются исходные значения функции отклика: . Ввиду этого оценить статистическую значимость коэффициентов, входящих в данное уравнение, по методике, которая использовалась ранее, не представляется возможным. Для того чтобы корректно вычислить дисперсию неадекватности, из уравнения (31) следует исключить наименьший по абсолютному значению коэффициент. Таковым в соответствии с данными табл. 10 является коэффициент b₂₃ = b₆. Его и исключаем из математической модели. Тогда уравнение (31) с учетом обозначений, принятых в табл. 9, 10, принимает вид:

(34)