5.2. Проверка адекватности регрессионной модели эксперименту

Процедура проверки адекватности математической модели в виде регрессионных уравнений (32), (34) эксперименту аналогична процедуре, рассмотренной в п. 4.3. С помощью полученного регрессионного уравнения (34) определяются значения параметра Z во всех 8 опытах, а затем по уравнению (32) вычисляются расчетные (теоретические) значения функции отклика в каждом опыте: .

Все значения Х_i в уравнение (34) входят в кодовом масштабе (табл. 9):

в 1-м опыте: х₁ = -1, х₂ = -1, х₃ = -1, х₄ = +1, Х₅ = +1, Х₆ = +1, х₇ = -1;

во 2-м опыте: х₁ = +1, х₂ = -1, х₃ = -1, х₄ = -1, Х₅ = -1, Х₆ = +1, х₇ = +1;

в 3-м опыте: х₁ = -1, х₂ = +1, х₃ = -1, х₄ = -1, Х₅ = +1, Х₆ = -1, х₇ = +1;

в 4-м опыте: х₁ = +1, х₂ = +1, х₃ = -1, х₄ = +1, Х₅ = -1, Х₆ = -1, х₇ = -1;

в 5-м опыте: х₁ = -1, х₂ = -1, х₃ = +1, х₄ = +1, Х₅ = -1, Х₆ = -1, х₇ = +1;

в 6-м опыте: х₁ = +1, х₂ = -1, х₃ = +1, х₄ = -1, Х₅ = +1, Х₆ = -1, х₇ = -1;

в 7-м опыте: х₁ = -1, х₂ = +1, х₃ = +1, х₄ = -1, Х₅ = -1, Х₆ = +1, х₇ = -1;

в 8-м опыте: х₁ = +1, х₂ = +1, х₃ = +1, х₄ = +1, Х₅ = +1, Х₆ = +1, х₇ = +1.

С учетом знаков Х_i значения параметра и функции отклика будут равны:

в 1-м опыте:

во 2-м опыте:

в 3-м опыте:

в 4-м опыте:

в 5-м опыте:

в 6-м опыте:

в 7-м опыте:

в 8-м опыте:

Дисперсия неадекватности определяется из выражения:

; ,

где и – значения функции отклика в u-м опыте, соответственно рассчитанные по уравнению (32) и определенные экспериментально;

f₁ – число степеней свободы;

– число оставленных коэффициентов в регрессионном уравнении, включая b₀;

N – число опытов плана (N = 8).

В рассматриваемом примере : уравнение (34) содержит 7 коэффициентов. Тогда f₁ = 8 - 7 = 1.

Результаты расчета дисперсии неадекватности приведены в табл. 11.

Гипотеза об адекватности математической модели в виде регрессионных уравнений (32), (34) эксперименту проверяется по критерию Фишера. Расчетное значение критерия Фишера находится из уравнения:

.

В рассматриваемом примере

Таблица 11

Пример оформления результатов расчета дисперсии неадекватности

Номер опыта, u		(уравнение 34)				f1
1	0,383	-0,926	0,396	0,013	1,79210-4
2	0,281	-1,237	0,29	9,81810-3	9,63910-5
3	0,232	-1,494	0,225	7,85810-3	6,17510-5
4	0,297	-1,249	0,287	0,01	1,00610-4
5	0,078	-2,585	0,075	2,63710-3	6,95410-6	1	4,77410-4
6	0,131	-2,069	0,126	4,41910-3	1,95310-5
7	0,059	-2,789	0,062	2,0810-3	4,32410-6
8	0,084	-2,446	0,087	2,92910-3	8,58110-6
Сумма	-		-	-	4,77410-4

Табличное значение критерия Фишера определяется в зависимости от уровня значимости  и числа степеней свободы f₁ и f₂, определенных ранее: f₁ = 1, f₂ = 48. При уровне значимости  = 0,05 и степенях свободы f₁ = 1 и f₂ = 48 табличное значение критерия Фишера равно: (табл. Б4, приложение Б).

Регрессионная модель считается адекватной эксперименту, если F^расч < F^табл. Поскольку данное условие не выполняется (F^расч = 6,474  F^табл = 4,04), предварительно можно заключить, что регрессионная модель, представленная уравнениями (32) и (34), не адекватна эксперименту.

Для того чтобы сделать окончательный вывод об адекватности или неадекватности регрессионной модели эксперименту, необходимо рассчитать вариацию аппроксимации:

где – среднее значение функции отклика по всем опытам.

Если вариация аппроксимации не превышает 10 %, регрессионная модель признается адекватной эксперименту независимо от величины расчетного критерия Фишера. Если вариация аппроксимации превышает 10 %, построенная регрессионная модель неадекватно описывает эксперимент.

В рассматриваемом примере

Тогда

Поскольку вариация аппроксимации не превышает 10 %, регрессионную модель следует признать адекватной эксперименту.

Для перехода от кодированных значений факторов к их истинным (натуральным) значениям в уравнениях (32) и (34) следует произвести замены переменных (28):

где X₁, X₂, X₃ – кодированные значения факторов, которые могут изменяться от -1 до +1 (факторами являются концентрации алюминия, марганца и углерода в чугуне);

х₁, х₂, х₃ – соответственно концентрации алюминия, марганца и углерода в чугуне, выраженные в процентах: х₁ = 2,5 - 3,5 % (Al), х₂ = 9 - 12 % (Mn), х₃ = 3,2 - 3,8 % (C);

х₁₀, х₂₀, х₃₀ – основной уровень, относительно которого производится варьирование концентрации легирующих элементов: х₁₀ = 3,0 % (Al), х₂₀ = 10,5 % (Mn), х₃₀ = 3,5 % (C);

х₁, х₂, х₃ – интервал варьирования концентрации легирующих элементов: х₁ = 0,5 % (Al), х₂ = 1,5 % (Mn), х₃ = 0,3 % (С).

После замен переменных (28) уравнения (32) и (34) принимают вид:

;