Глава 16 ////////////////////////////////////////////////////////////////////

Сложение вращений тела вокруг пересекающихся осей. Сферическое движение тела

При сложении вращений тела с угловыми скоростями , вокруг пересекающихся осей результирующее аб­солютное движение тела - сферическое вокруг точки пере­сечения осей. Вектор абсолютной угловой скорости

= + . (16.1)

Мгновенная ось вращения тела направлена вдоль век­тора й, т. е. по диагонали параллелограмма, построенного на векторах щ и й₂.

Скорость точки тела при сферическом его движении

, (16.2)

где - радиус-вектор данной точки относительно непод­вижной точки тела.

Ускорение точки

(16.3)

где - вращательное ускорение точки, = ;

- угловое ускорение тела, = ;

— осестремительное ускорение точки, = .

1 6.1. Механизм вращения барабана дифференциальной ле­бедки (рис. 16.1) представляет собой конический дифференциал, в котором шестерня 1 образует единый блок с цилиндрическим колесом 6, шестерня 2 связана с пуско­вым диском 3, а оси сателлитов 4 за­креплены на барабане 5. Механизм при­водится в движение от шестерни 7, час­тота вращения которой n = 142 мин . Определить частоту вращения барабана при заторможенном диске 3 и частоту вращения этого диска при заторможен­ном барабане, если известны числа зубьев: z₆ = 47 и z₇ = 29.

Рис. 16.1

Решение. При заторможенном диске 3, когда n₃ – п₂ = 0, катки 4 совершают сферическое движение вокруг центра О, при­водя во вращение барабан 5. В изображенном на рис. 16.1 поло­жении мгновенная ось вращения верхнего катка направлена по образующей АО; скорость принадлежащей катку точки В равна = -OB, где ей - абсолютная угловая скорость катка, ОБ -расстояние от точки В до мгновенной оси вращения; скорость точки С равна = -C_C, но С_C = OB / 2, следовательно, = _B /2.

Скорость точки В, отнесенной к шестерне 1, _B где - радиус шестерни, - ее угловая скорость, а скорость точки С, отнесенной к оси сателлитов, которая закреплена на барабане и поэтому имеет общую с ним угловую скорость ,

= = _B /2 = /2,

откуда = / 2.

Но = = , а частоты вращения n_i , пропорцио­нальны соответствующим угловым скоростям поэтому

При заторможенном барабане ось сателлитов неподвижна и дифференциал превращается в обычную зубчатую передачу с

"паразитными" колесами 4. Поскольку шестерня 2 жестко связа­на с пусковым диском 3, а шестерни 1 и 2 одинаковы, то

16.2. Поворотная платформа экскаватора опирается на ко-­ нические катки 2, обкатываю­ щиеся по неподвижной кониче­ ской опоре 3; оси катков закреп­- лены на водиле Н (рис. 16.2, а). В данный момент времени из-­ вестны угловая скорость платформы и ее угловое ускоре- Рис. 16.2, а ние . Определить угловые ско-

рости и ускорения катка и во­дила, а также угловую скорость катка относительно водила. Проскальзывание катков отсутствует; диаметры D и d известны.

Решение. Движение катка 2 складывается из двух вра­щений: переносного вместе с водилом Н с угловой скоростью вокруг вертикальной оси I - О и относительного с угловой скоростью вокруг горизонтальной оси II - О (рис. 16.2, б).Следовательно, движение катка - сферическое вокруг центра О, а абсолютная угловая скорость катка

₂ = + . (1)

Вектор направлен по оси 1-0, вектор - по оси II- О, а вектор - по мгновенной оси вращения (MOB) O .

Проскальзывание катка по опоре отсутствует, поэтому мгно­венная ось 0 , его абсолютного вращения направлена по одной прямой с образующей ОА неподвижной конической опоры 3.

Рис. 16.2, б, в, г

Для определения значения угловой скорости катка найдем скорость точки В на линии контакта поворотной платформы 1 с катком. Считая эту точку принадлежащей платформе 1, имеем

_B(1) = 0, 5 D. (2)

Для точки В, принадлежащей катку,

_B(2) = (3)

где - расстояние от точки В до MOB; - угол между MOB и осью II-О, причем cos = D .

Из уравнений (2) и (3), учитывая, что при отсутствии про­скальзывания платформы по катку _B(1) = _B(2) , получаем

= /(2d).

Тогда из прямоугольника угловых скоростей, изображенного на рис. 16.2, в, следует, что

Для определения углового ускорения водила воспользуемся методикой, изложенной в § 71 и § 66 учебника [2].

Дифференцируя по времени выражение (1), имеем

Производные здесь определяют изменение каждого из век­торов при абсолютном движении, слагающемся из переносного и относительного движений.

Условимся изменения, которые векторы и полу­чают при переносном движении, отмечать индексом «1», а при относительном движении - индексом «2», и тогда равенство (4) примет вид

(<й>_я),

Но переносное угловое ускорение характеризует изменение переносной угловой скорости только при переносном движении, относительное движение при этом во внимание не принимается. Поэтому

Л

(6)

Модуль этого ускорения = = 0,5 = 0,5 .

В свою очередь, относительное угловое ускорение характе­ризует изменение относительной угловой скорости только при относительном движении, т. е. при остановленном водиле. Тогда

Модуль = = D/(2d).

Поскольку при относительном движении катка не изме­няется ни по величине, ни по направлению, то (d( )₂ /dt = 0.

Вектор относительной угловой скорости катка меняет свое направление при переносном движении водила, поэтому (d ) /dt . Пусть за элементарный промежуток времени

dt водило Н с катками повернется на некоторый угол dφ (рис. 16.2, г). Тогда вектор переместится вместе с точкой С по­ступательно (придет в положение ) и одновременно повернется вокруг точки С₁ до положения . В результате этот вектор относительной угловой скорости получит в переносном движении приращение = _l= _bdt, где _b -скорость, с которой перемещается точка b при повороте вектора вокруг точки С₁.

Так как поворот происходит с переносной угловой скоро­стью , то по формуле Эйлера для точки вращающегося тела

[2, § 51, формула (48)] _b = = .

В результате получаем

_b dt =( )dt,

или

= ( ) (8)

В положении С вектор _b = перпендикулярен плоскости, содержащей и , и направлен так, чтобы с его острия видеть поворот вектора к вектору происхо­дящим через минимальный угол против хода часовой стрелки (рис. 16.2, г).

Модуль этого вектора

=

После подстановки выражений (6), (7) и (8) формула (5) при­нимает вид

Все три вектора, входящих в правую часть данного выраже­ния, взаимно перпендикулярны, поэтому

=

=

=

Следует заметить, что производные, входящие в уравнение (5), гораздо проще и быстрее определяются с помощью теоремы Бура [3, § 68), согласно которой абсолютная производная по времени от вектор-функции (t) равна геометрической сумме векторного произведения вектора угловой скорости вращения подвижной системы отсчета на дифференцируемый вектор и относительной (локальной) производной последнего вектора. Локальная производная вычисляется в предположении неизмен­ности направления осей относительной системы координат, как это представляется наблюдателю, соединенному с этой системой,

и обозначается . Таким образом,

= . (9)

Наконец, еще один способ вычисления углового ускорения катка заключается в том, что вектор угловой скорости пред­ставляют в виде ₂ = , где - орт мгновенной оси враще­ния АОξ. Тогда = ₂ = ₂ + ₂ , причем

/(2d) = /(2d); =

(доказательство последнего равенства аналогично приведенному выше при выводе производной d / dt с учетом того, что (d )₂ /dt = 0, так как | е |=const).

Эти формулы показывают, что вектор складывается из двух составляющих, одна из которых направлена по MOB и по

модулю равна /(2d); а вторая перпендикулярна плоскости рисунка и имеет модуль

=

Для полноты картины укажем, что первая составляющая рав­на геометрической сумме найденных ранее и . Модуль вектора углового ускорения катка

=

.

Ответ: = /(2d); = ;

= ;

16.3. Водило H планетарного исполнительного органа про­ходческого комбайна вращается с угловой скоростью , при этом сателлит 2 обкатывается по неподвижному солнечному ко­лесу 1 (рис. 16.3). Определить абсолютную угловую скорость со_в режущего диска , а также

его угловую скорость

относительно водила при за­ данных числах зубьев z₁ и z₂, радиусах r и R и известном угле между осями водила и диска. Найти абсолютную ли­- нейную скорость режущего инструмента М на периферии диска при заданном угле φ.

Решение. Движение режущего диска D складывается из переносного вращения вместе с водилом H вокруг центральной оси Ох₁ с угловой скоростью и относительного вращения во­круг оси Ох с угловой скоростью . При этом жестко связан­ное с диском коническое зубчатое колесо 2 перекатывается по неподвижному колесу 1, следовательно, мгновенная ось абсо­лютного вращения системы режущий диск - колесо 2 направлена по общей образующей начальных конусов колес1 и 2.

В соответствии с формулой (16.1) абсолютная угловая ско­рость диска

(1)

Вектор сод направлен по мгновенной оси вращения Oξ . Из параллелограмма угловых скоростей, построенного по уравне­нию (1) и показанного на рис. 16.3, следует, что модуль этого вектора

. (2)

Если всей заданной механической системе мысленно при­дать дополнительное вращение с угловой скоростью вокруг центральной оси Ох₁, то для стороннего наблюдателя, не свя­занного с системой, водило и геометрические оси колес 1 и 2 будут неподвижными, а сами колеса получат угловые скорости

и

соответственно.

Для такой конической зубчатой передачи с неподвижными осями справедливо соотношение

'1

= ,

откуда

. (3)

Подставляя выражение (3) в формулу (2), получаем

= = .

Так как тело, совершающее сферическое движение, имеет в каждый данный момент мгновенную ось вращения, вокруг кото­рой происходит элементарный поворот с угловой скоростью , то вектор скорости точки М определяется по формуле Эйлера для точки вращающегося тела [2, § 51, формула (48) или § 62, формула (76)]:

,

где r_м -радиус-вектор, проведенный в точку М из неподвиж­ной точки О, =

Но обычно скорость точки тела, совершающего сферическое движение, вычисляют аналитически по проекциям скорости на какие-либо координатные оси, в качестве которых чаще всего выбирают оси, жестко связанные с движущимся телом (в рас­сматриваемом случае это оси Oxyz).

Проекции скорости на координатные оси находим по формулам Эйлера [2, § 62, формула (77)], учитывая, что про­екции радиуса-вектора точки М на координатные оси рав­ны координатам этой точки:

(4)

Проекции абсолютной угловой скорости диска на коорди­натные оси:

, (5)

Координаты точки М в подвижной системе отсчета:

x = R / sin , y=r cos φ , z = r sin φ. (6)

Подставляя выражения (3), (5) и (6) в уравнения (4), получим

(7)

Модуль скорости режущего инструмента М находим, пола­гая R / r = λ:

= =

=

Ответ: = ; ;

=

i = z₁/z₂.

16.4. В задаче 16.3 определить угловое ускорение диска при равномерном вращении водила.

Решение. Абсолютная угловая скорость диска

,

где - угловая скорость водила, являющаяся для диска переносной скоростью; по условию задачи = const;

- угловая скорость диска относительно водила; const,

но ее модуль = = const. Здесь через обозначено отношение z₁/ z₂чисел зубьев пары кони­ческих колес 1 и 2 (рис. 16.3).

Угловое ускорение диска

. (1)

Производная угловой скорости водила по времени = 0, поскольку = const.

Вектор перемещается в пространстве вместе с осью OO₁, поэтому производную относительной угловой скоро­сти диска по времени находим по теореме Бура (см. решение задачи 16.2 в данном пособии или § 68 в учебном пособии [3]):

Локальная производная = 0, так как относительно подвижной системы отсчета Oxyz вектор не изменяется ни по величине, ни по направлению.

Подставляя найденные величины в уравнение (1), получаем

.

Вектор перпендикулярен плоскости x₁Ох, в которой ле­жат векторы и , причем направлен он так, что с его острия поворот первого вектора ко второму через минимальный угол виден происходящим против хода часовой стрелки, т. е. O₁z.

Модуль углового ускорения диска

sin = .

Ответ: . O₁z.

16.6. Рукоять 2 стреловидного исполнительного органа про­ходческого комбайна шарнирно закреплена на поворотной плат­форме 1 и несет на себе коронку 3 с режущим инструментом (рис. 16.6, а). Платформа вращается вокруг оси O₁x₁ с угловой скоростью , одновременно рукоять поворачивается в плоскости O₁х₁у₁ с угловой скоростью вокруг оси Oz шарнира, а коронка вращается вокруг оси Оу рукояти с угловой скоростью . Известны размеры е, L и r и углы α и φ. Найти проекции скорости режущего инструмента М на координатные оси Oxyz, связанные с рукоятью.

Рис. 16.6

Решение. Абсолютное движение коронки складывается из сферического движения вокруг точки О (суммы вращений вокруг пересекающихся в точке О осей Оу и Oz) и вращения вместе с платформой вокруг оси O₁x₁, которая перекрещивается с осью Oz (рис. 16.6, б). Чтобы свести задачу к исследованию вращения вокруг пересекающихся осей, перенесем вектор в точку О, добавляя в соответствии с правилом параллельного переноса векторов пару угловых скоростей , с моментом . Добавляемая пара вращений эквивалентна поступа­тельному движению со скоростью , причем Oz, а модуль и = e , где е = OO₁ - плечо пары , (см. начало гл. 15).

Теперь коронка участвует в трех вращениях вокруг пересе­кающихся осей O₁ Oz И Оу c угловыми скоростями , и соответственно и одновременно перемещается поступа­тельно со скоростью .

Абсолютная угловая скорость коронки

= + + ,

ее проекции на координатные оси Oxyz:

= sin α; = cos α + ; = - .

Координаты точки М в этих осях:

х = r sin φ; у = L; z = r cos φ .

Проекции абсолютной скорости точки М находим по фор­мулам Эйлера (см. решение задачи 16.3 в данном пособии или систему (77) в § 62 учебника [2]), учитывая наличие условно добавленного поступательного движения вдоль оси Oz со скоро­стью :

;

;

=

= .

Ответ: = ;

;

= .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сборник задач по теоретической механике на примерах из горной техники и технологии: Учебное пособие / B.C. Перевалов, Г.А. Доброборский, Л.М. Лянсберг и др.; Под общ ред. B.C. Перевалова. – М: Издательство МГГУ, 2000. - 217 с, ил.

2. Торг СМ. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для вту­зов. – 11-е изд., испр. - М: Высш. шк., 1995. - 416 с, ил.

3. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: В 2-х томах. Т. I. Статика и кинематика.- 8-е изд., перераб. и доп. -М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. -352 с.

4. Выгодский МЛ. Справочник по высшей математике. - М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1975.- 872 с, ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Глава 10. Кинематика точки 7

1. Прямолинейное движение точки 7

2. Криволинейное движение точки 25

Глава 11. Вращательное движение тела 54

Глава 12. Передачи 67

Глава 13. Плоскопараллельное движение тела 80

Глава 14. Сложное движение точки 120

Глава 15. Сложение вращений тела вокруг параллельных осей 182

Глава 16. Сложение вращений тела вокруг пересекающихся осей.

Сферическое движение тела 194

Список литературы » 207

ВЫСШЕЕ ГОРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Вадим Сергеевич Перевалов, Валентин Михайлович Рачек, Георгий Александрович Доброборский, Петр Михайлович Вержанский, Маргарита Николаевна Вьюшина, Ритта Владимировна Сагалова, Ирина Николаевна Фальк

СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ на примерах из горной техники и технологии