Глава 12 Передачи

Приведены примеры исследования кинематики меха­низмов с одной степенью свободы, служащих для передачи вращательного движения, а в задаче 12.6 и для преобразо­вания вращательного движения в винтовое. Последнее сла­гается из вращательного движения вокруг некоторой непод­вижной геометрической оси и поступательного со скоро­стью, параллельной этой оси.

Зубчатые механизмы, имеющие хотя бы одно колесо (сателлит), геометрическая ось которого перемещается в пространстве, называются эпициклическими, подразделя­ются в зависимости от числа степеней свободы на плане­тарные передачи и дифференциалы и рассматриваются в дальнейшем (см. главы 13, 15 и 16).

Отношение угловых скоростей двух находящихся в зацеплении цилиндрических зубчатых колес (передаточное отношение):

i_1,2= ω₁/ω₂= ±z₂/z₁ , (12.1)

где z₁, z₂ - числа зубьев колес; знак "плюс" принимается при внутреннем зацеплении, "минус" - при внешнем.

Передаточное отношение конической зубчатой переда­чи, в которой вращение колес происходит вокруг пересе­кающихся или перекрещивающихся (гипоидная передача) осей, считают положительным.

Для цепной передачи

i_1,2= ω₁/ω₂= z₂/z_l, (12.2)

где z₁, z₂ - числа зубьев звездочек.

Для ременной передачи

i_1,2= ω₁/ω₂ d₂ /d₁ (12.3)

где d₁, d₂ - диаметры шкивов.

Передаточное отношение многоступенчатого механиз­ма равно произведению передаточных отношений его сту­пеней, при этом под ступенью понимают передачу между двумя соседними по ходу движения валами, оси которых в пространстве не перемещаются.

Рис. 12.1

1 2.1. В механизме конвейерных весов применяется фрикцион­ная передача, в которой вращение катка 1 передается за счет трения катку 2; последний может пере­мещаться вдоль своей оси (рис. 12.1). Угловая скорость катка 1 пропорциональна скорости ленты конвейера; расстояние l пропор­ционально линейной плотности q (кг/м) транспортируемого груза в точке взвешивания, т. е. ω₁= k₁ν и l = k₂q. Коэффициенты про­порциональности k₁ и k₂ и радиус r катка 2 известны. Опре­делить массу груза, прошедшего через весы, если их счетчик по­казывает N полных оборотов катка 2. Проскальзыванием кат­ков пренебречь.

Решение. Считаем скорость ν ленты конвейера и линей­ную плотность q поступающего на него груза, а следовательно, и расстояние l постоянными в течение всего времени Τ взве­шивания. Перемещение ленты за этот период равно s = vT, тогда масса груза, прошедшего через весы за то же время,

Q = qs = qvT. (1)

Из условия задачи имеем ω₁= k₁ ν, поэтому

ν = ω₁/ k₁. (2)

При отсутствии проскальзывания катков их окружные ско­рости в точке контакта одинаковы, т. е. ω₁ l = ω₂r.

Угловая скорость катка 2:

ω₂= ω₁ l /r.

Время взвешивания находим, зная, что каток 2, вращаясь равномерно, совершил N полных оборотов, т. е. суммарный угол его поворота φ₂ = 2πΝ. Следовательно,

T = φ₂ /ω₂ = 2πN / (ω₁ l /r ) = 2πN r / (ω₁ l ) . (3)

Подставляя (2) и (3) в формулу (1) и учитывая, что согласно условию задачи q = l/k₂, получаем

Ответ: Q = 2nNr/( ).

Рис. 12.2

1 2.2. Ротор двигателя подъемной машины вращается равно-замедленно; в начальный момент частота его вращения равна 600 мин ^-1 , через 2с она уменьшает­ся до 480 мин ^-1 . Известны числа зубьев колес 1, 2, 3, 4 редуктора: z₁ = 19, z₂ = 69, z₃ - 18, z₄ = 57 и диаметр барабана D = 2,5 м (рис. 12.2). Составить уравнение движения подъемного сосуда, отсчитывая его координату x от начального положения. Опреде­лить время t движения до остановки и пройденный за это время путь s.

Решение. Уравнение движения подъемного сосуда можно Получить, интегрируя выражение для элементарного перемеще­нии сосуда:

В начальном положении х₀ =0, поэтому

. (1)

Скорость ν сосуда, равную окружной скорости барабана, находим как произведение угловой скорости последнего на его радиус, т. е.

ν = D/2. (2)

Угловая скорость барабана

= i_рад, (3)

где , - угловая скорость ротора двигателя, ( = πn_дв /30;

n_дв - частота вращения ротора;

i_рад - передаточное отношение изображенного на рис. 12.2

двухступенчатого зубчатого редуктора,

i_рад = i_1,2 i_3,4= (4)

Здесь i_1,2 и i_3,4 - передаточные отношения соответственно первой и второй ступеней редуктора.

Начальная угловая скорость ротора двигателя

_(о) = πn_дв(о) / 30 = π 600 / 30 = 20 π с ^-1,

его угловая скорость через Δt= 2 с

₍₁₎ = πn_дв(1) / 30 = π 480 / 30 = 16 π с ^-1,

Поскольку ротор двигателя вращается равнозамедленно, то его угловое замедление

а текущее значения угловой скорости

(5)

Подставляем (2), (3), (4) и (5) в уравнение (1) и интегрируем:

Время торможения t_T (до полной остановки) находим из выражения (5), принимая = 0:

0 = 2π(10- t_T),

откуда t_T = 10 с.

Путь, пройденный сосудом за время торможения,

34,15 м.

Ответ: x 6,83t - 0,34 t² (м); t_т = 10 с; s 34,15м.

Рис. 12.3

12.3. В угольном комбайне вращение от двигателя Д пе­редается режущему органу (шнеку) через ряд зубчатых колес 1, …, 6 (рис. 12.3). Диа­метр шнека d = 1250 мм. Частота вращения ротора двигате­ля n = 980 мин ^-1. Числа зубь­ев колес: z₁=21, z₂ = 42, z₃ = 18, z₄ = 66, z₅= 17, z₆ = 32. Определить скорость резания ν (скорость точки на перифе­рии шнека).

Решение. Скорость резания, равная скорости точки на периферии рабочего органа (шнека),

v=ω_шн d 10 ^-3 / 2 = π n_шн d 10 ^-3 / 60 = π d n_шн / 60 000, м/с,

где ω_шн и n_шн - соответственно угловая скорость, (с ^-1) и частота вращения (мин ^-1) шнека.

Передаточное отношение трехступенчатой зубчатой переда­чи трансмиссии

где - передаточные отношения соответственно первой, второй и третьей ступеней редуктора. Тогда = n / i, следовательно,

60 000 i) = /[60 000 (704 / 51)] 4,65 м/с.

Ответ: 4,65 м/с.

12.4. В приводе бурового станка вращение от двигателя Д передается буровому инструменту (долоту) через двухскоростную передачу, в которой сдвоенное колесо 3 — 4 может входить в зацепление либо с колесом 5, либо с колесом 6 (рис. 12.4). Определить соответствующие значения скорости точки на ок­ружности долота диаметром 214 мм, сидящего на одном валу с колесом 5, если числа зубьев равны z₁ = 20, z₂ = 80, z₃ = 25, z₄ = 40, z₅ = 35, z₆ = 20, z₈ = 110, а частота вращения ротора двига­теля n = 2400 мин^-1.

Решение. Скорость точки, расположенной на периферии долота диаметром d (мм), вращающегося с частотой (мин^-1),

60 000, м/с.

Зная частоту вращения ротора двигателя и передаточное от­ношение i изображенного на схеме редуктора, можно опреде­лить частоту вращения бурового инструмента:

= п / i.

Если в зацеплении находятся зубчатые колеса 3 и 5, то мы имеем дело с редуктором, имеющим "паразитное" колесо 7, чис­ло зубьев которого не влияет на абсолютную величину переда­точного отношения, но которое меняет знак этого отношения; общее число зубчатых пар внешнего зацепления здесь равно че­тырем:

= = = = 30,8,

где обозначает передаточное отношение передачи от колеса j к колесу k.

Если же в зацепление вводятся колеса 4 и 6, то в редукторе появляется еще одно "паразитное" колесо и тогда

= = = = 11.

Теперь можно найти окружную скорость долота в рассмат­риваемых двух случаях:

Ответ: ; .

12.5. На рис. 12.5 показана кинематическая схема привода механизма шагания бурового станка. Вращение от двигателя Д через зубчатые колеса 1, ..., 6 и цепную передачу 7-8 переда­ет коленчатому валу К, за один оборот которого происходит перемещение станка на 300 мм. Числа зубьев колес и звездочек: = 18, z₂ = 69, z₃=18, z₄ = 59, z₅ = 20, z₆ = 53, z₇ = 21, z₈= 37.

Какова должна быть частота и вращения ротора двигателя, что­бы средняя скорость перемещения станка составила 0,3 км/ч?

Рис. 12.5

Решение. Абсолютное значение передаточного отноше­ния трансмиссии, включающей трехступенчатый зубчатый ре­дуктор и цепную передачу,

Перемещение станка за один оборот коленчатого вала К со­ставляет s = 300 мм = 0,3 м, а средняя скорость перемещения = 0,3 км/ч = 0,3 1000/60 = 5 м/мин.

Требуемая частота вращения (число оборотов в минуту) вала п_к = / s, а частота вращения ротора двигателя

п = п_к = (v/s) = (5 / 0,3) 58,666 978 мин^-1.

Ответ: п 978 мин^-1.

12.6. В колонковом электросверле (рис. 12.6) вращение от двигателя Д через зубчатые колеса 7, ..., 6 передается втулке 9, которая своими выступами входит в продольные пазы шпин­деля 10 и заставляет его вращаться вместе с буровым инстру­ментом. На шпиндель навернута гайка 77, жестко связанная с колесом 8. Блок зубчатых колес 4-5 может вращаться незави­симо от вала 12. При переднем положении муфты 13 вращение от двигателя через колеса 7, 2, 3, 4, 7 я 8 передается гайке 77, которая вращается быстрее шпинделя, за счет чего происходит

подача шпинделя вперед. Когда муфта находится в среднем по­ложении, подачи шпинделя не происходит. При заднем положе­нии муфты гайка 77 остается неподвижной, шпиндель вывинчи­вается из нее и выходит из шпура. Зная частоту вращения ро­тора двигателя я = 2400 мин^-1, определить частоту вращения шпинделя, а также скорость его подачи при рабочем (вперед) и холостом (назад) ходе. Ход винта шпинделя относительно гайки h = 20 мм за один полный оборот. Числа зубьев колес: z₁= 35, z₂ = 57, z₃ = 19, z₄ = 62, z₅ = 17, z₆ = 45, z₇ = 30, z₈ = 76.

Решение. Чтобы определить скорость подачи шпинделя при рабочем ходе, необходимо знать частоту вращения гай­ки относительно шпинделя, равную разности частот вращения n_г гайки и шпинделя.

Передаточное отношение трехступенчатого зубчатого меха­низма, передающего вращение от ротора двигателя к шпинделю,

= = = 30,8,

Так как частота вращения шпинделя , равна частоте вра­щения втулки 9, жестко связанной с колесом 6, то

= = 2800 /14,067 199,044 мин^-1.

Передаточное отношение трехступенчатого зубчатого меха­низма, передающего вращение от ротора двигателя к гайке, жест­ко связанной с колесом 8,

= = -13,463.

Частота вращения гайки 11

= / = 2800 / 13,463 207,977 мин^-1.

Скорость подачи шпинделя при рабочем ходе

h = h ( - ) = 20(207,977 - 199,044) =

= 178,66 мм/мин 3 мм/с.

Скорость отвода шпинделя при холостом (маневровом) ходе

h = 20 199,044 = 3980,88 мм/мин 66,35 мм/с.

Ответ: 199 мин^-1; 3 мм/с; 66,35 мм/с.

12.7. На рис. 12.7 показана часть схемы карьерного скипово­го подъема, включающая скип 1, присоединенный к тяговому канату 2, наматываемому на барабан 3. Последний насажен на общий вал с колесом 4 двухступенчатого цилиндрического зуб­чатого редуктора. Числа зубьев колес: z₄= 63; z₅ =18; z₆ - 56; z₇ = 16. В период разгона на прямолинейном участке эстакады (х₀ х x₁) в течение времени 0 t t₁ скорость скипа изменяет­ся по закону = 2 С t, где С - некоторая постоянная; t₁ = 14 с - время разгона из состояния покоя. Координаты скипа в момен­ты времени t₀ = 0 и t₁ соответственно равны х₀ = 3 м и х₁ = 52 м. Диаметр барабана D = 1,4 м. Требуется найти закон движения скипа, установив величину и физическую сущность коэффициен­та С. Для момента времени, когда путь, пройденный скипом, ста­нет равным s = 6,25 м, определить координату, скорость и уско­рение скипа, а также скорость, нормальное, касательное и полное ускорения указанной на схеме точки М, принадлежащей шес­терне 7 и расположенной на окружности радиусом R₇=130 мм. Канат считать идеальной гибкой связью.

Решение. Пока скип движется поступательно по прямому участку эстакады, все его точки имеют одинаковые для данного момента времени скорости и одинаковые ускорения. Скорость поступательного движения = dx / dt, откуда dx = dt.

Рис. 12.7

Тогда

= ; x - x₀ = = Ct²,

или

(1)

х = x₀ + Ct². (1)

Для определения постоянной С подставим в уравнение известное по условию задачи значение x₁= 52 м при t = t₁ = 14 с:

x₁=x₀+C , или 52 = 3 + С 14²,

откуда С = 0,25 м/с².

Теперь уравнение (1) принимает вид

x = 3 + 0,25 t². (2)

Уравнения (1) и (2) соответствуют уравнению равноускорен­ного движения точки s = s₀ + + а t²/2 при ₀ = 0.Следовательно, С = а/2, где а = const – ускорение поступательно движущегося скипа. В самом деле, из уравнения (1) имеем

= = 2C ; a = = = 2C.

Известно также, что при t₀= 0 начальная скорость ₀ = 0. Таким образом, скорость скипа 1

= 2С = 0,5 м/с², (3)

его ускорение

а = 2С = 0,5 м/с² = const.

Скорость и ускорение точки М находим, исходя из следую­щих положений. Окружная скорость v₃ барабана равна скорости скипа, поскольку канат считается идеальной нерастяжимой нитью, т. е. ₃ = / 2 = .

Барабан и зубчатое колесо 4 жестко связаны с общим валом, следовательно, = = 2 / D. Колесо находится в зацеплении с шестерней 5, поэтому их окружные скорости одинаковы: ₄ = ₅, т. е. = - , откуда = – . Здесь и R₅ - ра­диусы начальных окружностей зубчатых колес 4 и 5 соответст­венно; знак "минус" учитывает, что угловые скорости и направлены в противоположные стороны.

По аналогии имеем = ; ₆ = ₇, = - , следовательно,

= - / =- / = - (- / )R6 / = = / ) = (2 / D) / ) = 2 / (D ).

Поскольку диаметры начальных окружностей колес пропор­циональны числам их зубьев, а коэффициенты пропорционально­сти одинаковы для обоих колес, находящихся в зацеплении, то отношение радиусов этих колес равно отношению чисел их зубь­ев. Учитывая это обстоятельство, а также принимая во внимание уравнение (3), получаем

Угловое ускорение шестерни 7

₇= d / dt = 8,75 с^-2 = const.

Скорость и ускорение точки М:

Время t_s, за которое скип проходит путь s = 6,25 м, находим из уравнения (2), учитывая, что s = x- x₀ = 3 + 0,25 – 3 = 0,25 . Тогда 6,25 = 0,25 , откуда t_s = 5 с.

Результаты вычислений кинематических параметров скипа и точки М для момента времени t = t_s = 5 с по полученным зави­симостям приведены ниже (в таблице), направления векторов скоростей и ускорений показаны на рис. 12.7.

x, м	, м/с	а, м/с2	c-1	M , м/с	м/с2	, м/с2	aM , м/с2
9,25	2,5	0,5	43,75	5,688	248,828	1,138	248,831

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////