Глава 11 Вращательное движение тела

Угловая скорость тела

(11.1)

угловое ускорение

ε = = , (11-2)

где φ - угловая координата тела, заданная как функция вре­мени.

При равнопеременном вращении, когда угловое ускоре­ние тела в течение некоторого периода времени t остается постоянным, угловая скорость

ω = ω₀+εt, (11.3)

а угол поворота (закон движения)

φ = φ₀ + ω₀t + εt ²/2, (11.4)

где φ₀ и ω₀- начальные значения соответственно угла пово­рота и угловой скорости.

Если известны начальное (ω₀) и конечное (ω_κ) значения угловой скорости равнопеременного вращения в течение времени t, то угол поворота тела за этот период времени можно найти, исключив из (11.3) и (11.4) параметр t и по­лагая φ₀ = 0:

(11.5)

Скорость и ускорение точки тела, расположенной на расстоянии R от оси вращения:

v = ωR; (11.6)

. (11.7)

Вектор а составляет с радиусом R угол

α = arctg (| ε | /ω²), (11.8)

одинаковый для всех точек тела.

11.1. Производительность ленточного конвейера Q = 4800 т/ч, площадь поперечного сечения грунта на ленте А = 0,2 м², насыпная плотность груза γ = 1,6 т/м³, диаметр приводного барабана D = 1 м. Определить частоту вращения (число и оборо­тов в минуту) барабана.

Решение. Считаем, что перемещение груза ленточным конвейером производится непрерывно, а поперечное сечение грунта на грузонесущем органе (ленте) остается примерно посто­янным по всей длине конвейера и все время его работы. Тогда линейная плотность q (кг/м) грунта на ленте, т. е. масса грунта, приходящаяся на 1 м длины ленты, равна

q = (A 1)γ 1000= 1000 Aγ.

Производительность Q (т/ч) транспортной машины непре­рывного действия зависит от массы груза q на единице длины грузонесущего органа и рабочей скорости ν (м/с) последнего:

Полагая, что лента не проскальзывает по приводному бара­бану, находим ее скорость ν (м/с) при частоте вращения барабана n (мин ^-1) и его диаметре D(м):

ν = ωD / 2 = (π n /30) D/2 = π D η 160,

где ω - угловая скорость барабана, с^-1 .

Тогда производительность конвейера

Q = 60Aπ D n γ,

откуда

Ответ: n 5,3 10^-3Q / (ADy) 79,6 мин ^-1.

1 1.2. Лента конвейера, движущая­ся со скоростью ν = 4 м/с, опирается на ролик диаметром D = 160 мм (рис. 11.2). Определить ускорение центра масс ролика - точки С, расстояние которой до оси вращения lос = 1,2 мм. Проскальзывание ленты по ролику отсутствует.

Рис. 11.2

Решение. При отсутствии проскальзывания ленты по ролику ее скорость равна окружной скорости точки на поверхно­сти ролика, поэтому угловая скорость ролика

Поскольку скорость ленты постоянна, то угловая скорость ролика тоже постоянна, его угловое ускорение равно нулю, а зна­чит, равно нулю и тангенциальное ускорение принадлежащей ролику точки С. Следовательно, полное ускорение точки С равно нормальному ее ускорению:

Ответ:

1 1.3. На вращающемся рабочем органе проходческого комбайна по концентрическим окружностям рас­положены режущие инструменты (зубки). Расстояние между окружно­стями h = 200 мм. Скорости резания: v₁ = 1,6 м/с и v₂ = 1,4 м/с. Опреде­лить частоту вращения n и диаметр D рабочего органа.

Решение. Обозначим диаметр окружности, на которой расположены зубки, имеющие скорость v₂, через D₂. Расстояние h между окружностями равно разности их радиусов, поэтому

D₂ = D-2h.

Угловая скорость рабочего органа

поэтому

откуда

Частота вращения рабочего органа

Ответ: n 9,55 D = 3,2 м.

11.4. Отношение скоростей точек А и B (скоростей резания) зубков фрезы проходческого комбайна v_A / v_B = 1,2; угловая скорость вращения фрезы ω = 11с^-1; шаг h = 120 мм; угол α = 36°. ¹ определить скорости указанных точек и

диаметр D.

Решение. Скорости точек вращающегося твердого тела пропорциональны расстояниям от точек до оси вращения, следо­вательно, соотношение этих скоростей равно соотношению ра­диусов траекторий точек, т. е. радиусов (или диаметров) соответ­ствующих окружностей:

где D_B - диаметр траектории точки В.

Из схемы фрезы, приведенной на рис. 11.4, видно, что

следовательно,

откуда

Теперь можно найти скорости точек А и В:

Ответ: v_A 2,45 м/с; 2,04 м/с; D 445 мм.

Рис. 11.5

1 1.5. Цикл движения поворотной платформы экскаватора со­стоит из двух этапов: разгона с постоянным угловым ускорением ε₁ = 0,15 с^-2 и торможения с постоян­ным угловым замедлением ε₂ = 0,1 с^-2. Угол поворота платформы за время цикла φ = π / 3. Определить максималь­ную угловую скорость ω₁ платформы, время t₁ и t₂ каждого этапа, а также максимальное ускорение а центра тяже­сти ковша экскаватора, если расстояние R от этого центра до оси вращения равно 10,5 м.

Решение. Воспользовавшись формулой (11.5), приведен­ной в начале данной главы для определения угла поворота тела при равнопеременном движении, и учитывая, что на первом этапе , находим угол φ_I поворота плат­формы за время

На втором этапе (движение равнозамедленное), угол φ_II поворота платформы отсчитывается от ее конечного положения, достигнутого на первом этапе. Тогда

Суммарный угол поворота платформы за время цикла:

откуда

Угловая скорость на первом этапе [см. формулу (11.3)]:

В конце первого этапа , следовательно, откуда

Угловая скорость на втором этапе (0 t _II t₂ = t – t₁)

В конце второго этапа , следовательно,

откуда t₂ = / = 0,354 / 0,1 = 3,54 с.

Ускорение а центра тяжести ковша экскаватора определяем по формуле (11.7). Максимального значения оно достигает при = = и , т. е. в конце первого этапа:

a=

Ответ: = 0,354 с¹;

= 2,36 с; = 3,54 с; а 2,05 м/с².

11.6. Барабан подъемной машины при разгоне вращается в течение времени с угловым ускорением = 0,45 с ^-2, а затем в течение времени - с угловым ускорением = 0,8 с ^-2 (рис. 11.6). За время разгона барабан совершает три полных оборота и набирает угловую скорость = 5,4 с ^-1 . Определить величины , и угловую скорость в конце промежутка времени .

Рис. 11.6

Решение. Из рис. 11.6 видно, что в течение времени барабан вращается равноускоренно с угловым ускорением , а затем в течение времени t₂ – равноускоренно с угловым ускоре­нием .

Величины углов поворота барабана на каждом этапе разгона находим по формуле (11.5), учитывая, что разгон начинается из состояния покоя, т. е. начальная угловая скорость барабана на первом этапе = 0, а конечная угловая скорость на этом этапе равна начальной угловой скорости барабана на втором этапе разгона:

Суммарный угол поворота платформы за время разгона:

откуда

Значение угловой скорости в конце каждого этапа находим по формуле (11.3):

откуда время первого этапа

= / = 1,1335 / 0,45 2,519 с;

время второго этапа

= / = (5,4 - 1,1335) / 0,45 5,333 с.

Ответ: t₁ 2,52 с; t₂ 5,33 с; 1,13 с ^-1.

11.7. Параллельные стержни 0₁А₁ и 0₂А₂ (рис. 11.7) оди­наковой длины l = 0,5 м, несущие рабочий орган виброконвейера, колеблются по закону φ = 0,01 sin (25πt) рад. Определить ско­рость и ускорение рабочего органа.

Рис. 11.7

Решение. Фигура О₁А₁А₂О₂ представляет собой параллело­грамм при любом положении стержня О₁А₁, следовательно, пря­мая А₁А₂ всегда остается парал­лельной основанию О₁О₂, т. е. рабо­чий орган виброконвейера переме­щается поступательно и для иссле­дования его кинематики достаточно рассмотреть А₁ принадлежащей одновременно стерж­ню О₁А₁.

Угловую скорость ω (с^-1) стержня находим по формуле (11.1):

ω = [0,01 sin (25π t)] = 0,25π cos (25π t).

Скорость ν (м/с) точки А₁, равная скорости рабочего органа:

ν = l ω = 0,5 · 0,25 π cos (25 πt) 0,393 cos (25 πt).

Угловое ускорение ε (с ^-2) стержня по формуле (11.2) равно

ε = с ^-2.

Полное ускорение а (м/с²) точки А₁ равное ускорению рабо­чего органа, определяем по формуле (11.7):

.

Ответ: ν 0,393 cos (25 πt), м/с;

.

11.8. При разгоне механизма с двигателем постоянного тока угловое ускорение ведущего звена изменяется по закону ε = ε₀e ^-t/T, где ε₀ - начальное угловое ускорение, Τ - электро-

механическая постоянная. Определить закон изменения угловой скорости и закон вращения звена. Чему равна угловая скорость установившегося вращения?

Решение. В условии задачи указан закон изменения угло­вого ускорения ε. Но ε = d / dt, следовательно, d = ε dt, тогда

Из полученного выражения видно, что с увеличением време­ни t угловая скорость ω возрастает и при t стремится к постоянному предельному значению: =ε₀T = const; в то же

время ε 0, так как 0. Следовательно, : - угловая скорость установившегося движения.

Поскольку ω = dφ / dt, то dφ = ω dt. Интегрируя, получаем

Ответ:

где = ε₀T - угловая скорость установившегося вращения.

11.10. Для сохранения постоянной минутной производи-тельности роторного экскаватора прибегают к регулированию угловой скорости стрелы в функции угла поворота φ по закону ω = / cos φ, где 0 φ π / 3; - начальная угловая скорость. Определить законы изменения угловой скорости, углового уско- рения и угла поворота стрелы в зависимости от времени.

Решение. Заменив в выражении ω = / cos φ величину ω на dφ / dt, получим dφ / dt = / cos φ, откуда cos φ dφ = dt.

Интегрируем обе части последнего уравнения:

откуда φ = arcsin ( ).

Теперь можно найти зависимость ω = ω(t):

Угловое ускорение стрелы

Время поворота стрелы на угол φ: t = (sin φ) / ; при φ=0 t = 0; при φ = π / 3

Ответ: ω = φ = arcsin ( ),

где 0 t [sin (π / 3)] / .

1 1.12. Определить закон движения, скорость и ускорение подъемного сосуда (скипа) при намотке каната на кони­ческий участок бицилиндро-конического барабана (рис. 11.12), если известны радиу­сы R₁ и R₂, число витков z каната на коническом участке и угловая скорость барабана ω = const. Чему равны

Рис. 11.12

Указание. Текущий радиус навивки каната увеличивается прямо пропорционально углу поворота барабана: R = R₁ + kφ. Величину коэф­фициента пропорциональности k определить из условия задачи.

Решение. При намотке z витков на конический участок барабана радиус навивки увеличивается с R₁ до R₂, а угол поворота барабана составляет φ = 2πz. Тогда (в соответствии с указани­ем к задаче)

R₂ = R₁+ k2πz,

Откуда

k = (R₂-R_l)/(2πz).

Поскольку ω = const, то φ = ωt и формула для определения ткущего радиуса навивки принимает следующий вид:

R = R₁ + (R₂-R₁) ωt/ (2πz).

Скорость скипа, равная окружной скорости барабана в точке укладки каната,

ν = ωR = ω[R₁ + (R₂ - R₁) ωt/ (2πz)].

Интегрируя выражение ds = vdt, находим перемещение скипа (закон движения):

Ускорение скипа

Время одного оборота барабана

t_об=φ_об/ω = 2π/ω;

полное время движения

Т= t_об z= 2πz/ ω.

Путь скипа за время Τ

h = s-s₀ = (ω Т+ (R₂ - ) T²/(4πz) =

= ω (2πz/ ω) + (R₂ - ) ω² (2πz / ω)² / (4πz) = πz( + R₂).

Ответ: Закон движения скипа

s = s₀+ (ω t + (R₂ - ) ²/(4πz);

скорость ν = ω[ + (R₂ - ) (ω t/ (2πz)];

ускорение a = (R₂ - ) / (2πz);

время движения T= 2πz / ω; путь h = πz(R₁ + )