Глава 15 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Сложение вращений тела вокруг параллельных осей

При сложении одинаково направленных вращений во­круг параллельных осей и с угловыми скоростями соот­ветственно и мгновенная ось вращения делит рас­стояние между осями и внутренним образом на части, обратно пропорциональные соответствующим угловым скоростям. Если направления вращений противоположны, причем оси (например, > ), то = - ; мгно­венная ось вращения делит расстояние между осями и внешним образом на части, обратно пропорциональные со­ответствующим угловым скоростям. Если направления вращений противоположны, а модули их угловых скоростей равны между собой (| | = | |), то такая совокупность на­зывается парой вращений, при этом абсолютная угловая скорость тела = 0 и абсолютное движение тела является поступательным со скоростью , равной моменту пары.

1 5.1. Шестерня 1 (сателлит) механизма поворота платформы экскаватора (рис. 15.1) вращается относительно водила 3 (платфор­мы) с частотой = 32 мин^-1, обка­тываясь по неподвижному колесу 2. Определить угловую скорость во­дила 3 и абсолютную угловую ско­рость сателлита 1, если z₂ / z₁ = 26, где z₁ и z₂ - числа зубьев соответ­ственно шестерни и колеса.

Решение. Угловая скорость шестерни 1 относительно во­дила 3

= /30 = 32/30=3,351 с^-1.

Сообщим мысленно всей системе вращение вокруг цен­тральной оси О с угловой скоростью - , численно равной уг­ловой скорости водила, но направленной в противоположную сторону. Тогда с точки зрения неподвижного стороннего наблю­дателя механизм будет представлять собой пару находящихся в зацеплении зубчатых колес с неподвижными осями, водило будет неподвижным (в соответствии с правилом сложения вращений вокруг параллельных или совпадающих осей = - = 0), а солнечное колесо 2 получит угловую скорость

= - = 0 - = - .

Но для пары зубчатых колес с неподвижными осями спра­ведливо соотношение (см. начало гл. 12)

,

откуда

= / = - 3,351 / 26 = - 0,129 с^-1.

Угловая скорость водила (в данном случае - платформы экс­каватора) в исходном механизме:

= - = -(- 0,129) = 0,129 с^-1.

Абсолютное движение сателлита складывается из перенос­ною вращения вместе с водилом и вращения относительно води­ла, причем направления этих вращений совпадают, поэтому абсолютная угловая скорость сателлита

= + = 0,129 + 3,351 = 3,48 с^-1.

Ответ: = 0,13 с^-1; = 3,48 с^-1.

15.2. В механизме дифференциальной центробежной мель­ницы (рис. 15.2) коронное колесо 1 и водило 2 вращаются в од­ном направлении с частотой и соответственно. Барабаны

жестко связаны с шестернями (сателлитами) 3, обкатываю­щимися внутри колеса 1. Ре­жим работы мельницы опреде­ляется значением отношения k = / , где - частота вращения барабана относи­тельно водила. Определить это отношение в зависимости от и чисел зубьев z₁ и z₃колес 1 и 3.

Рис. 15.2

Решение. Механизм привода рассматриваемой центро­бежной мельницы представляет собой дифференциальную зубча­тую передачу с внутренним зацеплением коронного колеса 1 и сателлитов 3. Дня того чтобы вычислить отношение частоты вращения барабана относительно водила к частоте вращения во­дила, воспользуемся методом обращения движения ( методом Виллиса). Сущность этого метода заключается в том, что всем звеньям механизма мысленно сообщается дополнительное вра­щение, частота которого равна по величине частоте вращения водила, а направление - прямо противоположно. Вследствие это­го водило как бы останавливается, а дифференциал превращается в обычную (но так называемую обращенную) зубчатую передачу с неподвижными геометрическими осями валов, к которой можно применять формулу (12.1).

Частоты вращения звеньев обращенной передачи:

ее передаточное отношение

откуда

.

Тогда

Ответ: =

15.3. В дифференциальном механизме привода центробеж­ной мельницы (рис. 15.3) из­ вестны частота вращения во­ дила 32 мин и числа зубьев: = 25, = 42. Опре­- делить, с какой частотой и в какую сторону должно вра ­- щаться колесо 1, чтобы пере­- даточное отношение k было равно минус единице, если k = = ( - ) / . Какое движе - ние при этом будут совершать барабаны 3, связанные с коле­ сами 2?

Рис. 15.3

Решение. Исследование кинематики заданного диффе­ренциального механизма проведем, используя метод Виллиса (см. решение задачи 15.2).

Придадим системе дополнительное вращение вокруг цен­тральной оси с частотой, равной по величине частоте вращения водила, но направленное в сторону, противоположную направле­нию движения последнего. В результате получаем "обращенный" (убчатый механизм с неподвижными осями.

Учитывая наличие в заданном механизме промежуточных ("паразитных") колес 4, не влияющих на абсолютную величину, но меняющих знак передаточного отношения зубчатой передачи, находим

откуда

Теперь можно определить передаточное отношение k.

Если к = - 1, то из формулы (1) имеем

мин^-1

знак "минус" указывает на то, что направление вращения солнеч­ного колеса 1 противоположно направлению вращения водила. Кроме того, при k = -1 получаем , следователь­но, частота вращения барабанов п₂ = 0, т. е. барабаны совершают поступательное движение.

Ответ: Солнечное колесо 1 должно вращаться с частотой =231,2мин^-1 в сторону, противоположную на­правлению вращения водила, при этом барабаны будут двигаться поступательно.

15.4. В планетарном испол­нительном органе проходческо­го комбайна (рис. 15.4) режущие диски 2 радиусом r вращаются относительно водила 1 с задан­ной угловой скоростью . Из­вестны отношения i = / - угловая скорость водила) и λ = R / r, R= Определить

Рис. 15.4

186

скорость режущего инструмента (точки М) как функцию угла φ поворота диска 2 относительно водила 1.

Решение. Поскольку задана относительная угловая ско­рость режущих дисков, то остальные кинематические пара­метры рассматриваемой механической системы требуется выра­зить через эту величину.

Угловая скорость водила = / .

Абсолютное движение диска складывается из переносного вращения водила с угловой скоростью вокруг оси O₁ и отно­сительного вращения диска с угловой скоростью вокруг оси O₂, причем эти вращения направлены в одну сторону. Поэтому абсолютная угловая скорость диска

+ = / + = (i+1) / i.

Диск 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому скорость принадлежащей этому диску точки М можно опреде­лить по формуле (13.1), которая в рассматриваемом случае имеет следующий вид:

где - скорость точки M , принимаемой за полюс O₂,

, = = ;

- скорость точки М относительно полюса O₂,

, = = .

Вектор равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , поэтому модуль скорости точки М

= =

= =

=

Ответ: =

15.5. Рукоять 1 стреловидного исполнительного органа про­ходческого комбайна (рис. 15.5) вращается с угловой скоростью вокруг оси O₁; барабан 2, оснащенный режущим инструмен­том (зубками), вращается относительно рукояти с угловой скоро­стью вокруг оси O₂. Определить скорость точки M зубка (скорость резания) в зависимости от угла . Найти максимальную скорость резания при следующих данных: = 0,2 с^-1; = 10 с^-1; = = 4м; R = 0,15м.

Рис. 15.5

Решение. Барабан 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому скорость принадлежащей этому диску точки М можно определить по формуле (13.1), которая в данном случае имеет следующий вид:

где - скорость точки 02, принимаемой за полюс,

, = = ;

- скорость точки М относительно полюса O₂,

, = = ,

- угловая скорость абсолютного движения барабана 2,

которое складывается из переносного вращения рукояти с угловой скоростью вокруг оси O₁ и относительно­го вращения барабана с угловой скоростью вокруг оси O₂, причем оба вращения направлены в одну сторо­ну. Поэтому абсолютная угловая скорость барабана:

= + .

Вектор _M равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , поэтому модуль скорости точки М

= =

=

Максимального значения скорость резания достигает при = 0, когда cos = 1:

= =

=2,33 м/с

Ответ: = ;

= 2,33 м/с.

15.6. В механизме гидравлического экскаватора (рис. 15.6, а) известны размеры: = 7 м, = 8 м, = 3,5 м, = 3 м; углы: = 45°, = 60°, β= 90°; скорости штоков гидроцилиндров от­носительно их корпусов: = 0,1 м/с, = 0,15 м/с. Определить скорость кромки ковша (точки М).

Решение. Рукоять 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому скорость принадлежащей ей точки М можно определить по формуле (13.1), которая в данном случае принима­ет следующий вид:

,

а

б

в

Рис. 15.6

где _A - скорость точки А, выбранной в качестве полюса,

_A OA, _A = = ;

- угловая скорость стрелы 1;

^_ скорость точки М относительно полюса А,

AM, = = ;

- угловая скорость абсолютного движения рукояти 2, ко­торое складывается из переносного вращения стрелы с угловой скоростью и направленного в ту же сторону вращения рукояти относительно стрелы с угловой ско­ростью .

Угловую скорость стрелы можно вычислить, зная скорость _B точки В. Для определения _B рассмотрим движение точки В как сложное, состоящее из относительного движения вдоль оси O₁В гидроцилиндра 3 и движения вместе с этой осью.

Свяжем с гидроцилиндром 3 некоторую плоскость Р, парал­лельную плоскости движения (плоскости чертежа), и найдем на ней точку В₃, совпадающую с проекцией точки В на эту плос­кость (рис. 15.6, б). Скорость точки В относительно точки В₃, равная скорости штока гидроцилиндра относительно его корпуса и направленная вдоль оси O₁В штока, будет относитель­ной скоростью точки в исследуемом ее движении. Вращательное движение корпуса гидроцилиндра 3 вместе с прикрепленной к нему плоскостью Р является для точки В переносным, а ско­рость точки В₃, перпендикулярная радиусу O₁В и вектору относительной скорости, - переносной скоростью.

Вектор _B абсолютной скорости точки В является диагона­лью прямоугольника, построенного на взаимно перпендикуляр­ных векторах и , поэтому _B = / sin α₁.

Угловая скорость стрелы

Поскольку относительное движение рукояти - вращательное, то ее относительную угловую скорость находим, предварительно определив скорость точки С относительно шарнира А.

Мысленно остановив движение стрелы /, рассмотрим дви­жение точки С как сложное, состоящее из относительного дви­жения вдоль оси DC гидроцилиндра 4 и движения вместе с этой осью (рис. 15.6, в).

Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущим.

Свяжем с гидроцилиндром 4 некоторую плоскость Q, парал­лельную плоскости движения (плоскости чертежа), и найдем на ней точку С₄, совпадающую с проекцией точки С на эту плос­кость. Тогда скорость точки С относительно точки С₄, равная скорости ₂ штока гидроцилиндра относительно его кор­пуса и направленная вдоль оси DC, будет относительной скоро­стью точки в исследуемом ее движении. Вращательное движение корпуса гидроцилиндра 4 вместе с прикрепленной к нему плос­костью Q является для точки С переносным, а скорость точки С₄, перпендикулярная радиусу DC и вектору ₂ относительно скорости, - переносной скоростью.

Вектор скорости точки С относительно точки А является диагональю прямоугольника, построенного на взаимно перпен­дикулярных векторах и ₂ , поэтому = / sin α₂.

Относительная угловая скорость рукояти:

Угловая скорость абсолютного движения рукояти 2:

Учитывая, что _A , так как β = 90°, получаем

=

м/с.

Ответ: = 0,835 м/с.

15.7. Определить угловую скорость звеньев О₁А и О₂B меха­низма шагания гидромонитора (рис. 15.7, а), если скорость штока приводного цилиндра CD относительно его корпуса и = 0,2 м/с, O₁АВО₂ -параллелограмм, = 1,2 м, α = 40°.

Рис. 15.7

Решение. Фигура О₁АВО₂ остается параллелограммом при любом положении кривошипов О₁А и О₂B, следовательно, шатун АВ всегда параллелен основанию 5 (прямая О₁O₂), т. е. он совершает поступательное движение.

Поскольку абсолютное движение шатуна можно рассматри­вать как результат сложения переносного вращения вместе с кри­вошипом О₂В вокруг оси O₂ с угловой скоростью ₃ и вращения

относительно этого кривошипа вокруг оси В с угловой скоро­стью , то направления этих вращений должны быть противо­положны, а модули их угловых скоростей равны между собой (см. начало данной главы).

Следовательно, для решения поставленной задачи можно вместо угловой скорости кривошипа определить относительную угловую скорость шатуна, для чего мысленно отсоединим систему шатун 2 - кривошип 3 - гидроцилиндр 4 со штоком от механизма, закрепим неподвижно кривошип и, сохранив заданное на схеме взаимное положение звеньев, придадим штоку заданную скорость (рис. 15.7, б).

Движение точки С рассматриваем как сложное, состоящее из относительного движения вдоль оси CD и движения вместе с этой осью. Тогда скорость , направленная вдоль CD, будет относительной скоростью точки. Вращательное движение прямой CD (т. е. гидроцилиндра 4 со штоком) вокруг центра D является для точки С переносным движением, а скорость той точки С₄, которая лежит на жестко связанной с цилиндром плоскости Q и с которой совпадает в данный момент точка С, будет ее пере­носной скоростью .

Вектор _CB скорости точки С относительно точки В является диагональю прямоугольника, построенного на взаимно перпенди­кулярных векторах и , поэтому = u / sin α.

Угловая скорость шатуна 2 относительно кривошипа 3:

Как отмечалось выше, угловая скорость кривошипов 1 и 3 численно равна относительной угловой скорости шатуна, но противоположна ей по направлению.

Ответ: = 0,259

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////