Глава 14 Сложное движение точки

Если некоторая точка М движется относительно сис­темы отсчета Oxyz, перемещающейся в свою очередь отно­сительно другой системы отсчета O₁ x₁ y₁ z₁, которая считает­ся неподвижной, то движение точки по отношению к под­вижным осям называется относительным. Движение под­вижной системы отсчета Oxyz относительно неподвижной системы O₁ x₁ y₁ z₁ называется переносным. Подчеркнем то обстоятельство, что в такой формулировке термин "пере­носное движение" нельзя относить к точке, он относится к системе отсчета, т. е. к некоторому подвижному телу, по которому перемещается точка М. Можно, однако, это по­нятие ввести несколько иначе, связав его непосредственно с рассматриваемой точкой. В этом случае переносным дви­жением точки называют то мгновенное движение, кото­рым обладала бы точка М по отношению к неподвижной системе, если бы в данный момент была жестко связана с подвижной системой отсчета. Наконец, движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета O₁ x₁ y₁ z₁ (точнее, по отношению к системе, которая в условиях дан­ной задачи может считаться неподвижной) называется аб­солютным.

В связи с этим различают абсолютную ( _a), перенос­ную ( _e) и относительную ( _r) скорости, а также абсо­лютное ( ), переносное ( ) и относительное ( ) уско­рения точки М. При этом под переносной скоростью и пе­реносным ускорением понимают соответственно скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

Абсолютная скорость точки равна геометрической сум­ме переносной и относительной скоростей (теорема сложе­ния скоростей):

_a = _e + _r. (14.1)

Если угол между векторами v_e и v_r обозначить а, то модуль вектора v_a абсолютной скорости

_a = . (14.2)

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова (поворотного) ускорений (теорема Кориолиса):

= + + . (14.3)

Если точки подвижной системы отсчета движутся отно­сительно неподвижной системы по криволинейным траек­ториям, то переносное ускорение целесообразно пред­ставить как геометрическую сумму его нормальной и тангенциальной составляющих. Аналогичную операцию следует проделать с ускорением , если относительное движение точки не является прямолинейным. После этих изменений уравнение (14.3) в общем случае принимает вид

= + + + + . (14.4)

Отметим, что при вычислении переносной скорости и переносного ускорения не требуется учитывать относитель­ное движение точки, поэтому _e и определяют, пользу­ясь методами кинематики твердого тела, как скорость и ус­корение точки некоторого тела, неизменно связанного с подвижной системой отсчета и движущегося вместе с ней.

При вычислении относительной скорости и относительного ускорения не требуется учитывать переносное движение точки, поэтому _r и определяют, пользуясь методами кинематики точки.

Кориолисово ускорение

=2( _r), (14.5)

где - вектор переносной угловой скорости, направлен­ный вдоль оси переносного вращения в ту сторону, откуда вращение подвижной системы видно происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль кориолисова ускорения

а_к = 2 sin β, (14.6)

где β - угол между векторами и _r.

Направление вектора можно определить, если ис­пользовать:

1. правило векторного произведения, поскольку вектор направлен так же, как и вектор ( _r), т. е. перпенди­кулярно к плоскости, содержащей векторы и _r, в ту сторону, откуда поворот вектора вектору _r через ми­нимальный угол β виден происходящим против хода часо­вой стрелки;

2. правило Жуковского. В этом случае вектор _r про­ецируют на плоскость Q, перпендикулярную к , и полу­ченную проекцию _rQ поворачивают в этой плоскости на угол 90° в сторону переносного вращения; повернутый век­тор и будет указывать направление .

Из формулы (14.6) следует, что кориолисово ускорение равно нулю, если || _r (тогда sin β = sin 0° = sin 180° = 0) или если переносное движение - поступательное (тогда =0).

1 4.1. Скорость цепи многочерпакового экскаватора (рис. 14.1, a) = 16 м/мин. С какой скоростью дол­жен перемещаться экскаватор вдоль откоса, чтобы черпаки не оставляли гребней и про­пусков? Расстояние между черпаками l = 0,8 м, ширина черпака в направлении, пер­пендикулярном к плоскости чертежа, b = 0,4 м.

Рис. 14.1

Решение. При работе экскаватора черпаки совершают сложное движение, состоящее из переносного движения экскава­тора вдоль откоса со скоростью и относительного движения черпаков вдоль стрелы вместе с цепью со скоростью . Черпаки не оставляют гребней и пропусков на разрабатываемой поверхно­сти откоса, если за время t относительного перемещения рабочего черпака вдоль стрелы со скоростью = на расстояние, равное шагу l размещения черпаков на цепи, перемещение s экскава­тора вдоль откоса со скоростью _e = _э за то же время t не пре­вышает ширины черпака b (рис. 14.1, б). Считаем движение экскаватора вдоль откоса и движение цепи вдоль стрелы равно­мерными, тогда

s = v_эt b, a t = l / , т.е. _э l / b,

или

_э b / l = 16 ∙ 0,4 / 0,8 = 8 м/мин = 0,48 км/ч ≈ 0,133 м/с.

Ответ: _э 0,133 м/с.

14.2. Шнек угольного комбайна (рис. 14.2, а)вращается с частотой п = 44 мин^-1 , диаметр шнека D = 1 м. Скорость движе­ния комбайна вдоль забоя (скорость подачи) и = 2,9 м/мин. Оп­ределить абсолютные скорости точек М₁, М₂ и М₃ на окружно­сти шнека (скорости резания). Какой угол а с направлением по­дачи составляет скорость точки М₂?

Решение. Точки М₁, М₂ и М₃ совершают сложное дви­жение, которое складывается из переносного поступательного движения вместе с комбайном вдоль забоя и криволинейного от­носительного движения по периферии (окружности) шнека при равномерном вращении последнего.

Переносная скорость для всех рассматриваемых точек оди­накова и равна скорости подачи:

_в = u = 2,9 м/мин ≈ 0,048 м/с.

Вектор относительной скорости каждой из рассматриваемых точек Mj направлен по касательной к относительной траектории (окружности диаметром D), т. е. перпендикулярно к радиусу OM_j, в сторону относительного движения (рис. 14.2, б). Модуль относительной скорости для всех этих точек одинаков и равен

_r = = = ≈ 2,304 м/c.

Абсолютные скорости определяем по уравнению (14.1), учи­тывая, что векторы скоростей _e = и _r точки M₁ совпадают по направлению, точки М₂ — взаимно перпендикулярны, а точки М₃ - противоположны по направлению (см. рис. 14.2, б). Тогда модули этих скоростей равны:

₁ = _r + u = 2,304 + 0,048 = 2,352 м/с;

₁= = ≈ 2,304 м/c;

₃ = _r - и = 2,304 - 0,048 - 2,256 м/с.

а между направлением вектора абсолютной скорости точки Mi и направлением подачи комбайна

α = arccos ( и / ₂) = arccos (0,048 / 2,304) ≈ 88,8°.

Ответ: ₁ ≈ 2,35 м/с; ₂ ≈ 2,3m/c; ₃ ≈ 2,26 м/с; α ≈ 88,8°.

1 43. Шнек (винт) шнекового транспортера вращается с по­стоянной угловой скоростью внутри тру­бы диаметром D, при этом транспортируе­мый материал движется параллельно оси шнека (рис. 14.3, а). Опреде­лить скорость и этого движения, а также ско­рость _ск скольжения частицы М материала, находящейся на внут­ренней поверхности трубы, по винтовой по­верхности шнека. Шаг шнека равен h.

Рис. 14.3

Решение. Поступательное движение транспортируемого материала со скоростью относительно неподвижной трубы является его абсолютным движением, для исследования которого достаточно рассмотреть движение какой-либо одной частицы, например материальной точки М, находящейся на внутренней поверхности трубы. Переносным движением считаем вращение шнека вокруг своей оси, а относительным - скольжение частицы по винтовой поверхности шнека с некоторой скоростью _r = _ск .

Абсолютную скорость u определяем из условия, что за один оборот шнека точка М получает перемещение вдоль оси трубы, равное шагу шнека. Если время одного оборота равно Т, то

u = h/T. (1)

Время Т находим из уравнения φ = равномерного вра­щательного движения шнека, принимая ф = я и t=T:

T = / .

С учетом соотношения (2) равенство (1) принимает вид

u = h / ( ). (3)

Переносная скорость равна окружной скорости точки, нахо­дящейся на поверхности шнека, т. е. _в = d / 2, и направлена перпендикулярно к плоскости, содержащей ось шнека и точку М.

Построив параллелограмм скоростей в соответствии с равен­ством = + _ск (рис. 14.3, б) и учитывая, что , находим величину скорости скольжения частицы материала по винто­вой поверхности шнека:

_ск = = =

Ответ: и= ; _ск = .

Рис. 14.4

14.4. Цилиндрический барабан питателя вращается с посто­янной угловой скоростью ; радиус барабана R; абсолютное движение частицы М материала, находящейся на внутренней поверхности барабана, - равномерное и прямолинейное со скоро­стью , параллельной оси барабана (рис. 14.4, а). Определить скорость и ускорение точки М относительно барабана.

а б

Рис. 14.4

Решение. Движение частицы материала (точки М) рас­сматриваем как сложное, принимая вращение барабана вокруг оси z за переносное движение, а скольжение точки по внутрен­ней поверхности барабана - за относительное движение (рис. 14.4, б).

Переносная скорость v_e = R, вектор _e касателен к внут­ренней поверхности барабана и перпендикулярен к плоскости, проходящей через ось барабана и точку М, его направление оп­ределяется направлением вращения барабана.

Поскольку абсолютная скорость _a точки М известна по величине и направлению ( _a = ), то на основании векторного равенства (14.1) с учетом того обстоятельства, что векторы и _e лежат в плоскости, касательной к поверхности барабана, при­ходим к выводу, что вектор _r относительной скорости также расположен в этой плоскости. Его величину определяем из па­раллелограмма скоростей (рис. 14.4, б), принимая во внимание, что _e :

_r = = .

Направление вектора _r определяется углом

α = arctg ( R / u).

По условию задачи абсолютное движение точки М - равно­мерное и прямолинейное, следовательно, ее абсолютное ускоре­ние а_a = 0.

Барабан вращается с постоянной угловой скоростью, поэто­му касательная составляющая переносного ускорения = 0, т. е. _е = .

Направление и величина относительного ускорения _r пока неизвестны.

При указанных условиях уравнение (14.3) принимает вид

0 = + _r + _к. (1)

Переносное ускорение = R и направлено от точки М к оси цилиндра по нормали к его поверхности.

Кориолисово ускорение

= 2 _r sin α = 2 _e = 2 ²R.

Для определения направления кориолисова ускорения по правилу Жуковского проецируем вектор _r относительной ско­рости на плоскость, перпендикулярную к оси переносного вра­щения, т. е. к оси барабана, и поворачиваем полученную проек­цию _rxy на угол 90° в направлении вращения барабана. В ре­зультате оказывается, что вектор _к направлен вдоль той же прямой, что и ускорение , но в противоположную сторону. Из уравнения (1) при этом следует, что вектор _r также будет направлен вдоль указанной нормали к поверхности барабана.

Проецируя уравнение (1) на эту нормаль и полагая, что век­тор _r направлен к оси барабана, получаем

0 = + - ,

откуда

= - = 2 ²R - ²R = ²R.

Поскольку а_r > 0, то это значит, что направление вектора _r было выбрано верно.

Ответ: _r = ; вектор _r лежит в плоскости, касательной к цилиндру, под углом α = arctg ( R / u) к вектору в сторону, противоположную направ­лению вращения барабана. Вектор направлен к оси цилиндра нормально к его внутренней поверх­ности; = ²R.

14.5. Горизонтальное сито грохота (рис. 14.5, а) совершает круговые поступательные колебания в своей плоскости, при этом каждая его точка движется по окружности радиусом R по зако­ну = t; = const. Частицы материала движутся относительно сита по окружностям радиусом r по закону ψ = t - ; = const. Известно, что r = R sin α ; = / 2 + α; α = arccos [g f / (R ²)], где g - ускорение свободного падения, f -коэффициент трения час­тиц о сито. Определить траекторию, скорость и ускорение абсо­лютного движения частицы.

а б

Рис 14.5

Решение. Частица материала (материальная точка М) со­вершает сложное движение. Оно складывается из переносного движения горизонтального сита и относительного движения час­тицы по ситу.

Переносное движение представляет собой круговые посту­пательные колебания в плоскости сита, любая точка которого, в том числе и точка О' (рис. 14.5, б), движется по окружности ра­диусом R. Система отсчета Оху при этом неподвижна.

Относительное движение - это движение частицы по ситу по окружности радиусом г и с центром в точке О', рассматриваемое в системе координат О'х'у', неизменно связанной с ситом.

Координаты точки М:

= + = R cos + r cos ψ = R (cos + sin α cos ψ), (1)

= + = R sin + r sin ψ = R (sin + sin α sin ψ).

Зависимости (1) представляют собой уравнения абсолютного движения частицы в координатной форме, а также и параметри­ческие уравнения абсолютной траектории точки М, в которых параметром служит время t, являющееся аргументом функций = (t) и ψ = ψ (t). Чтобы получить уравнение траектории в ко­ординатной форме, дающее зависимость между координатами точки, необходимо из уравнений (1) исключить параметр t, т. е. функции и ψ. Для этого возводим оба уравнения в квадрат и складываем почленно их левые и правые части. В результате по­лучаем

² + ² = R² [(cos² + sin² ) +

+ 2 (cos cos ψ + sin sin ψ) sin α + (cos² ψ + sin² ψ) sin² α] =

= R² [1 + 2 sin α cos( - ψ) + sin² α], (2)

где в соответствии с исходными данными cos ( - ψ) = cos [ - ( - )] = cos = cos ( /2 + а) = - sin α

С учетом последнего замечания уравнение (2) принимает вид

² + ² = R ²(1 - 2 sin² α + sin² α) = R² cos² α .

Введя обозначение ρ = R cos α, получаем

² + ² = ρ²

Следовательно, абсолютная траектория точки М - окруж­ность радиусом ρ. По условию задачи cos α = gf / (R ), поэтому ρ = gf / .

Для решения задания, поставленного в условии, нет необхо­димости вычислять переносную и относительную скорости, а также переносное и относительное ускорения точки.

Скорость абсолютного движения частицы определяем, нахо­дя сначала проекции этой скорости, для чего дифференцируем по времени уравнения (1), учитывая, что α = const, = const, = /dt = d( ) / dt = , ψ = dψ / dt = d( t - )/dt = :

= = R[(-sin ) + sin α (-sin ψ) ]=

= R[(-sin ) + sin α (-sin ψ) ] = R (sin + sin α sin ψ);

v_ay = _M = R(cos + sin α cos ψ ) =

= R (cos + sin α cos ψ ) = R (cos + sin α cos ψ).

= = R cos α = gf / .

Преобразования, проделанные при выводе последней фор­мулы, аналогичны преобразованиям при выводе уравнения (3). Абсолютное ускорение частицы определяем также через его проекции:

= = = -R (соs + sin α cos ψ ) =

=- R (cos + sin α cos ψ ) =-R ² (cos + sin α cos ψ);

= = = R (-sin + sin α (-sin ψ) ) =

=- R (sin + sin α cos ψ ) =-R ² (sin + sin α cos ψ);

= = R ²cos α = g f

Ответ: траектория - окружность радиусом

ρ = R cos α = gf / ²;

v_a=R cos α = g f/ ; a_а = R ²cos α = gf.

14.6. Клеть M опускается в вертикальном шахтном стволе с постоянной относительно Земли скоростью v = 10 м/с (рис. 14.6, а). Определить абсолютные скорость и ускорение клети, если географическая широта места расположения шахты = 50°, а радиус Земли равен 6400 км.

Решение. Размерами клети по сравнению с размерами Земли можно пренебречь и поэтому клеть рассматривается как материальная точка М, которая совершает сложное движение, состоящее из переносного вращения вместе с Землей и относи­тельного равномерного прямолинейного перемещения вдоль шахтного ствола со скоростью v_r = v (рис. 14.6,6).

Угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси

= = .

Переносная скорость, т. е. скорость той точки М₃ Земли, с которой в данный момент совпадает клеть М,

v_e = O₁M = OM cos = = 299,167 м/с.

Направление переносной скорости определяется направле­нием вращения Земли, т. е. вектор _e ориентирован с запада на восток по касательной к параллели, на которой расположена шахта, при этом _e .

Абсолютную скорость клети находим по уравнению (14.1):

_а = _e + _r = _e + .

Ее модуль

_a = = ≈ 299,334 м/с.

Переходим к определению ускорения клети. Поскольку переносное вращение - равномерное ( = 0), а относительное движение — равномерное и прямолинейное, то

= 0 и _r = 0, поэтому уравнение (14.4) принимает вид

_а = + _к.

Модуль нормальной составляющей переносного ускорения:

= О₁М = ОМ cos = ) 6400 10³ cos 50° ≈ 2,176 10^-2м/с.

Значение кориолисова ускорения:

а_к = 2 _е sin( _е , ^ ) = 2 _e sin (90° + ) =

= 2 10 sin (90° + 50°) ≈ 9,35 10^-4 м/с².

Ускорения направленное по радиусу O₁М к оси враще­ния Земли, и _к, направленное с востока на запад по касательной к параллели, взаимно перпендикулярны, поэтому модуль абсо­лютного ускорения клети

а_a = =

= ≈

≈ 2,178 10^-2м/с².

Ответ: _a ≈ 299,33 м/с; а_а ≈ 0,0218 м/с².

14.7. В задаче 10.18 (см. с. 43) определить скорость и ускоре­ние поршня относительно ротора.

Решение. Поршень 2 относительно ротора 1 движется по­ступательно, поэтому для определения основных кинематических характеристик этого движения достаточно рассмотреть движение одной его точки М (рис. 14.7).

Рис. 14.7

Движение точки М можно рассматривать как сложное, со­стоящее из переносного равномерного вращения ротора вокруг неподвижной оси Oz по закону = t и прямолинейного дви­жения вместе с поршнем относительно ротора. Следовательно, сутью данной задачи является определение относительной скоро­сти и относительного ускорения точки М.

В уравнении (14.1), определяющем абсолютную скорость точки при ее сложном движении, в данном случае известны на­правления всех трех векторов. Вектор _e переносной скорости как скорости точки тела, совершающего вращательное движение, перпендикулярен плоскости, содержащей точку М и ось Oz, и лежит в плоскости, проходящей через точку М и перпендикуляр­ной оси вращения ротора, т. е. в вертикальной плоскости под уг­лом к вертикали. Вектор _r относительной скорости направ­лен вдоль геометрической оси поршня, т. е. параллельно оси Oz. Вектор _а абсолютной скорости лежит на линии пересечения рабочей плоскости неподвижной шайбы 3 с плоскостью, в кото­рой расположены векторы _e и _r.

Что касается модулей этих скоростей, то по исходным дан­ным можно определить лишь величину переносной скорости, но этого достаточно для решения векторного уравнения (14.1).

Модуль переносной скорости

_e = R,

где - угловая скорость вращения ротора вокруг оси Oz. Но = = , следовательно, _e = R.

Проецируя равенство (14.1) на плоскость yOz, получаем

_аyz = _ey + _r,

где _вy = _e cos = R cos t.

Из прямоугольника скоростей, построенного по уравнению (1) и показанного на рис. 14.7, находим

_r = _ey ctg α = R ctg α cos t.

Ускорение относительного прямолинейного движения точки

a_r = d _r /dt = - ²R ctg α sin t.

Ответ: _r = R ctg α cos t; a_r = - ²R ctg α sin t.

14.8. Решить задачу 10.24 (см. с. 50), применяя теорию слож­ного движения точки. Дополнительно определить угол, который образует вектор абсолютной скорости с плоскостью, перпендику­лярной к оси ротора (угол подъема винтовой линии на торе).

Решение. Рассматривая движение точки М, находящейся на периферии ротора, как сложное, примем вращение стрелы вместе с ротором вокруг неподвижной вертикальной оси Oz по закону = t за переносное движение, а перемещение точки по окружности радиусом /? при вращении ротора вокруг собствен­ной горизонтальной оси O₁y₁ по закону ψ = t - за относи­тельное движение (рис. 14.8).

Найдем зависимости координат x_M, y_M и z_m точки М, определяющих ее положение в абсолютной (неподвижной) сис­теме отсчета Охуz, от времени.

Рис. 14.8

Из рис. 14.8 видно, что

x_M = ОМ_ху cos = (OO₁ + O₁M_xy) cos = (L + x₁) cos =

= (L + R cos ) cos , (1)

где х₁ - абсцисса точки М в подвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁;

х₁ = R cos = R cos .

Аналогично получаем

y _M= (L + R cos ) sin ; (2)

z_m = z₁ = R sin , (3)

где z₁ - апликата точки М в подвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁.

Уравнения (1), (2) и (3) являются также уравнениями абсо­лютного движения точки М в координатной форме.

Абсолютная скорость _a точки М определяется по уравне­нию (14.1).

Переносная скорость _в = где - угловая скорость переносного вращения стрелы экскаватора вместе с ротором во­круг неподвижной оси Oz, _е = = ; R₁ - расстояние от точ­ки М до оси Oz, R₁ = L+x₁=L + + R cos _.

Следовательно,

_e = (L + R cos ( t).

Вектор _e направлен перпендикулярно плоскости zOx₁ в сторону вращения стрелы.

Относительную скорость определяем как скорость точки, принадлежащей телу, совершающему вращательное движение с угловой скоростью = = вокруг оси 0₁у₁ причем расстоя­ние от точки до оси вращения постоянно и равно R:

_e = R.

Вектор _r лежит в плоскости ротора и направлен в сторону его вращения перпендикулярно радиусу O₁М.

Поскольку векторы _e и _r взаимно перпендикулярны, то абсолютная скорость точки М

_а = = .

Максимального значения абсолютная скорость точки М до­стигает при cos = cos = 1, т. е. при = 0°, когда эта точка находится на максимальном удалении от оси Oz переносного вращения. Величина максимальной абсолютной скорости

v_{a max}= .

Угол между вектором _a и вертикальной плоскостью, пер­пендикулярной к оси ротора, находим из прямоугольника скоро­стей (рис. 14.8, вид А):

α = arctg = arctg = arctg .

Ответ: α = arctg [(L / R + cos ) / ].

14.9. Определить абсолютные скорость и ускорение куска М породы в ковше ротора экскаватора в положении разгрузки (рис. 14.9, а), если известны частота вращения ротора n₁ = 34 мин^-1 , угловая скорость поворота стрелы = 0,03 с^-1 , радиус ротора R = 1,6 м, вылет стрелы L = 16 м.

а б

Рис. 14.9

Решение. Сложное движение куска породы, принимаемо­го за точку М, раскладываем на переносное и относительное. Переносное движение - это вращение стрелы ОА экскаватора вместе с ротором вокруг оси Oz с угловой скоростью . Отно­сительное движение представляет собой перемещение точки М по окружности радиусом R при вращении ротора вокруг цен­тральной оси А с частотой n₁ (рис. 14.9, б).

Абсолютная скорость _a точки М определяется по уравне­нию (14.1).

Жестко связываем со стрелой плоскость Q, параллельную плоскости чертежа, и выбираем на плоскости Q точку М_с, совпа­дающую в данный момент с точкой М ротора. Тогда переносная скорость

_e = L = 0,03 16 = 0,48 м/с,

где L - расстояние от точки М_с до оси вращения стрелы; в рас­сматриваемом случае это расстояние численно равно длине стре­лы ОА.

Вектор _e направлен перпендикулярно плоскости zOy в сторону вращения стрелы (рис. 14.9, б).

Относительную скорость определяем как скорость точки, принадлежащей телу, совершающему вращательное движение с угловой скоростью _r = n₁/30 вокруг оси А, причем расстоя­ние от точки до оси вращения постоянно и равно R:

_r = _rR = ( n₁ / 30) R = ( 34 / 30) 1,6 ≈ 5,697 м/с.

Вектор _r лежит в плоскости ротора и направлен в сторону его вращения перпендикулярно радиусу AM.

Поскольку векторы _e и _r взаимно перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости точки М

_a = = ≈ 5,717 м/с.

Переходим к определению абсолютного ускорения точки М. Поскольку переносное вращение происходит с постоянной угло­вой скоростью, то угловое ускорение = 0 и, следовательно, = 0. Относительное криволинейное движение точки также равномерное, поэтому 0. В результате уравнение (14.4) для вычисления абсолютного ускорения принимает вид

_a = + + _K

Величина нормальной составляющей переносного ускорения

= L = 0,03² 16 = 0,0144 м/с².

Направлен вектор в сторону оси Oz переносного враще­ния перпендикулярно к ней.

Относительное нормальное ускорение

= R = 1,6 ≈ 20,283 м/с²

и направлено от точки М к центру А ротора.

Значение кориолисова ускорения:

_к = 2 _{e r} sin( _r, ^{^} _r) = 2 _{2 r} sin90° =

= 2 0,03 5,697 ≈ 0,342 м/с².

Вектор направлен перпендикулярно плоскости ротора в сторону положительного направления оси Ох (рис. 14.9, б).

Векторы , и _к взаимно перпендикулярны, поэтому абсолютное ускорение точки М

_а = =

= ≈ 20,286 м/с².

Ответ: _a≈ 5,717 м/с; а_а ≈ 20,286 м/с².

14.10. Материальная частица скатывается вниз по винтовой поверхности спирального сепаратора лабораторного типа (рис. 14.10, а). Сепаратор вращается с постоянной частотой п = 6 мин^-1 вокруг своей оси. Относительная скорость частицы v_r = 1 м/с; расстояние ее от оси вращения R = 0,5 м, угол подъема винтовой линии α = 30°. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение частицы.

Указание. Радиус ρ кривизны винтовой линии с углом подъема а на цилиндре радиусом R определяют по формуле ρ = R / cos² α.

Рис. 14.10

Решение. Движение частицы М материала, принимае­мой за точку, рассматриваем как сложное, причем переносным движением считаем равномерное вращение сепаратора вокруг оси О с частотой n, а относительным - скатывание частицы вниз по винтовой поверхности с постоянной по модулю скоро­стью _r (рис. 14.10,б).

Переносная скорость точки M_c сепаратора, с которой в дан­ный момент совпадает точка М,

= _e R= R = 0,5 ≈ 0,314 м/с.

Направлен вектор _e в сторону вращения сепаратора пер­пендикулярно плоскости, проходящей через точку М_с и ось Oz переносного вращения (рис. 14.9, б).

Абсолютная скорость определяется как диагональ паралле­лограмма, построенного на векторах _e и _r в соответствии с уравнением (14.1):

_а = =

= ≈ 1,282 м/с.

Абсолютное ускорение точки М вычисляем по уравнению (14.4). В данном случае = 0, поскольку модуль относительной скорости _r = const. Равно нулю и ускорение в силу того, что сепаратор вращается равномерно. Следовательно, уравнение (14.4) принимает вид

_a = + + _K.

Величина нормальной составляющей переносного ускорения

= = 0,5 ≈ 0,1974 м/с².

Направлен вектор по радиусу R к оси переносного вра­щения, т. е. к оси сепаратора.

Относительное нормальное ускорение

= = = = 1,5 м/с²,

где - радиус кривизны винтовой линии, описываемой скаты­вающейся частицей в относительном движении.

Вектор направлен в сторону вогнутости указанной вин­товой линии по главной нормали, лежащей в так называемой со­прикасающейся плоскости и перпендикулярной оси сепаратора.

Модуль кориолисова ускорения

_к = 2 _{e r} sin( _e, ^{^} _r) =2 _r sin 60

= 2 1 sin 60 ≈1,0883 м/с².

Вектор _K направлен также по радиусу R к оси сепаратора.

Все векторы, составляющие _а, действуют по одной прямой в одну и ту же сторону, поэтому модуль абсолютного ускорения точки М

_a = + + _K = 0,1914+ 1,5 + 1,0883 ≈ 2,786 м/с².

Направлен вектор _а тоже по радиусу R к оси сепаратора.

Ответ: _a ≈ 1,282 м/с; а_а ≈ 2,786 м/с .

14.11. С какой угловой скоростью и в какую сторону должен вращаться сепаратор (см. условие предыдущей задачи), чтобы абсолютное ускорение было равно относительному?

Решение. Воспользуемся результатами решения преды­дущей задачи, где показано, что абсолютное ускорение точки М

_a = + + _K.

В то же время по условию данной задачи _a = следовательно, + _K = 0, или = - _K. Поскольку нормальная составляющая переносного ускорения в любом случае направлена к оси вращения, то для соблюдения полученного выше равенства необходимо, чтобы направление ускорения Кориолиса было прогивоположно показанному на рис. 14.10, б. Это может быть достигнуто изменением направления вращения сепаратора в про­тивоположную сторону (рис. 14.11).

В еличину угловой скорости сепа­ратора находим, приравнивая модули переносного и кориолисова ускорений:

= 2 _{e r} sin 120°,

откуда

_e = (2 _r sin 120°) / R =

= (2 1 sin 120°) / 0,5 ≈ 3,464 с^-1.

Ответ Ответ: _e ≈3,464 с^-1; направление вращения должно быть противоположно указанно­му на рис. 14.10.

Рис. 14.11

14.12. В барабане планетарной центробежной мельницы (рис. 14.12, а) шар М движется равномерно и прямолинейно со скоростью _r = 3 м/с относительно системы отсчета, связанной с водилом ОА. Водило вращается с постоянной угловой скоро­стью = 30 с^-1 . Определить проекции абсолютного ускорения шара на оси Mξή в тот момент времени, когда шар находится в середине отрезка ВС. Известны размеры: = 150 мм; h = 20 мм; α = 45°.

а

Рис. 14.12

Решение. Присоединим к водилу ОА некоторую плос­кость Q, параллельную направляющей плоскости (в данном слу­чае - плоскости чертежа), и выберем на этой плоскости точку M_Q , с которой в данный момент времени совпадает принимаемый за точку шар М (рис. 14.12, б). Тогда сложное движение шара М можно представить состоящим из переносного движения вместе с точкой M_Q и относительного движения шара по отношению к точке M_Q (или, что то же самое, по отношению к подвижной системе отсчета, связанной с водилом).

В переносном движении точка M_Q перемещается по дуге ок­ружности радиусом OM_Q вместе с водилом, вращающимся с по­стоянной угловой скоростью, поэтому переносное ускорение имеет только нормальную составляющую , направленную по радиусу OM_Q от точки M_Q к точке О; модуль этого ускорения

= ²OM_Q.

Длину отрезка OM_Q определяем из треугольника ОАМ по теореме косинусов:

OM_Q = =

= =

= ≈

≈ 0,1648 m.

Тогда ≈ 30² 0,1648 ≈ 148,3 м/с².

Относительное ускорение = 0, так как в относительном движении шар М движется равномерно и прямолинейно. Кориолисово ускорение

_к = 2 _r sin( , ^{^} _r) = 2 30 3 sin90⁰ = 180 м/с².

Направлено это ускорение по оси Мξ.

В результате уравнение (14.3) для определения абсолютного ускорения точки М принимает вид

_а = + _к.

Проецируем это уравнение на координатные оси Mξή:

= cos β + ;

= sin β.

Из треугольника ОАМ по теореме синусов находим

sin β = = = 0,6438,

тогда cos β = = =0,7652.

Значения искомых проекций абсолютного ускорения:

= 148,3 0,7652 + 180 ≈ 293,46 м/с²;

= 148,3 0,6438 ≈ 95,46 м/с².

Ответ: ≈ 293,46 м/с²; ≈ 95,46 м/с².

14.13. Водило ОА планетарной центробежной мельницы вращается с постоянной угловой скоростью Ω. (рис. 14.13, а) во­круг вертикальной оси О; длина водила = R. Барабан радиу­сом r вместе с прижатыми к его стенке шарами вращается отно­сительно водила с угловой скоростью = k Ω, где k = const. В том положении шара М, в котором проекция его абсолютного ускорения на прямую AM равна нулю, происходит отрыв шара от стенки барабана. Найти угол ОАМ = α, соответствующий этому положению, и абсолютную скорость шара в момент отрыва. При каком условии отрыва не произойдет и шар будет вращаться вместе с барабаном?

Решение. Шар М, размерами которого пренебрегаем и поэтому принимаем за материальную точку, участвует одновре­менно в двух движениях - переносном вращении всей заданной механической системы вокруг оси О с постоянной угловой ско­ростью _е, равной угловой скорости Ω водила, и вращении ба­рабана (с прижатыми к его стенке шарами) относительно водила вокруг собственной центральной оси О с постоянной угловой скоростью _r= = k Ω. (рис. 14.13, б).

Рис. 14.13

Жестко связываем с водилом некоторую плоскость Q, па­раллельную плоскости рассматриваемого сечения барабана, т. е. перпендикулярную обеим осям вращения, и находим на ней точку M_Q, с которой в данный момент совпадает проекция точки М на эту плоскость. В этот момент времени скорость точки M_Q является для точки М переносной скоростью _e, а ускорение - переносным ускорением _е.

В соответствии с уравнением (14.1) абсолютная скорость шара М

_a = _e+ _r,

где _e = _е = Ω = Ω - переносная скорость, вектор _e которой направлен перпендикулярно радиусу = ОМ в сторону вращения водила; _r = _r r = k Ω r - относительная скорость точки М, причем вектор _r перпендикулярен радиусу МА барабана и направлен в сторону относительного вращения.

Модуль абсолютной скорости точки определяем как диаго­наль параллелограмма, построенного на векторах _e и _r (рис. 14.13,6):

_a = = =

= Ω

Из треугольника AOM имеем = R² + r ²- 2Rr cos α, а из треугольников AOC и MOC: r + cos (180° - β) = R cos α, или cos β = r - R cos α .

Следовательно,

_a = Ω =

= Ω

Поскольку в рассматриваемом случае угловые скорости _e и _r постоянны по величине и направлению, то касательные со­ставляющие переносного и относительного ускорений точки М равны нулю, поэтому уравнение (14.4) для определения абсолют­ного ускорения принимает вид

_a = + + _K. (2)

Модуль переносного нормального ускорения:

= = Ω ² = Ω ² ,

направлен вектор по радиусу от точки М к центру О.

Относительное нормальное ускорение = r = Ω ²r и направлено по радиусу барабана отточки М к центру А.

Ускорение Кориолиса

а_к = 2 _r sin( , ^{^} _r)) = sin 90° = 2 k Ω ² r,

так как векторы = и _r взаимно перпендикулярны. Повер­нув в соответствии с правилом Жуковского вектор _r вокруг точки М на угол 90° в сторону переносного вращения, устано­вим, что вектор _K направлен, как и вектор , по радиусу МА барабана от точки M к центру А.

Отрыв шара от стенки барабана происходит в тот момент, когда проекция абсолютного ускорения на прямую МА равна нулю.

Проецируем на эту прямую уравнение (2) при указанном ус­ловии:

0 = - cos (180° - β) + + а_к, (3)

или

0 = Ω ² cos β + k² Ω ²r + 2k Ω ²r.

Сокращая на Ω ² и учитывая, что cos β = r - R cos α, по­лучаем

0 = r – R cos α + k²r + 2k r, (4)

откуда

α = arcos [r(l+k)² / R].

Теперь по формуле (1) можно найти скорость шара в момент отрыва:

_a = Ω =

=Ω = Ω

Отрыв шара от стенки барабана не произойдет при условии, что проекция абсолютного ускорения на прямую AM при любом положении системы не равна нулю. Это возможно, если сумма (отрицательного ускорения и ускорения Кориолиса всегда больше проекции переносного ускорения на радиальную прямую AM. При этом уравнение (3) принимает вид

0 < - cos (180° - β) + + а_к,

или [см. преобразования при выводе уравнения (4)]

R cos α < r + k ² r+ 2 k r, т. е. R < r (1 + r)²/ cos α.

Предельно минимального значения выражение в правой части последнего неравенства достигает при cos α = 1, следователь­но окончательно будем иметь R < r .

Ответ: α = arcos[r /R];

_a = Ω

отрыва шара не произойдет, если R < r (1 + k)².

14.14. Горизонтальный диск сепаратора (рис. 14.14, а) вра­щается с постоянной частотой п = 300 мин^-1. При движении час­тицы материала (точки М) по шероховатой поверхности Q диска ее абсолютное ускорение _а, создаваемое силой трения, направлено противоположно скорости _r частицы относительно диска и равно а_а = 2 м/с² . В данный момент времени абсолютная скорость частицы _a направлена перпендикулярно абсолютному ускорению и составляет угол α = 45° с радиусом ОМ диска. Расстояние =0,2 м. Найти проекции скорости _r и ускорения _r точки М относительно диска на оси Mξή.

а б

Рис. 14.14

Решение. Движение частицы материала, принимаемой за материальную точку, рассматриваем, как сложное, в котором вращение диска вокруг оси О с угловой скоростью = / 30 = π 300 / 30 = 10 ,c^-1 является переносным движением, а сколь­жение частицы по поверхности Q диска - относительным дви­жением (рис. 14.14, б).

В соответствии с уравнением (14.1) абсолютная скорость точки М

_a = _e+ _r, (1)

Направления абсолютной _a и относительной _r скоростей известны по условию задачи.

Переносная скорость, т. е. скорость точки M_Q диска, с кото­рой в данный момент совпадает точка М,

_e = = 10 м/с.

Вектор _e перпендикулярен радиусу ОМ, лежит в плоско­сти Q диска и направлен в сторону его вращения, т. е. в положи­тельном направлении оси Мξ,.

Для определения модуля _r относительной скорости спрое­цируем уравнение (1) на оси Мξ и Мή:

_a cos (90° - α) = _e - _r cos α;

- _a cos α = - _r cos (90° - α).

Складывая почленно левые и правые части этих уравнений при α = 45°, имеем 0 = _e - 2 _r cos 45°, откуда

_r = = = , м/с.

Следовательно, искомые проекции относительной скорости частицы М на оси Мξ, и Мή:

_rξ = _rή = - _r cos 45° = - cos 45° = - , м/с.

Абсолютное ускорение точки М определяется из уравнения

_a = + + _r + _K (2)

Необходимо иметь в виду следующее:

абсолютное ускорение _a известно по величине и направ­лению;

поскольку диск вращается равномерно, то его угловое уско­рите = 0, поэтому касательная составляющая переносного

ускорения = 0, а полная величина этого ускорения равна

модулю его нормальной составляющей: a_e = = l_OM =

= (10π)² 0,2 = 20 π ², м/с²; направлен вектор от точки M_Q к центру О, т. е. в положительном направлении оси Мή ;

величина и направление относительного ускорения _r неиз­вестны;

кориолисово ускорение

_K = 2 _r sinβ = 2 10 π π sin90° = 20 π ², м/с²,

где β- угол между векторами и _r; β = 90°, так как пере­носное и относительное движения происходят в одной плоскости; направление вектора _K получаем по правилу Жуковского, по­вернув вектор _r вокруг точки М на 90° в сторону переносного вращения, т. е. против хода часовой стрелки.

Проецируя уравнение (2) на оси Мξ, и Мή , получаем

a_а cos α = a_rξ + a_к cos (90° - α);

a_а cos (90° - α) = + a_rή - а_к cos α ,

i

откуда при α = 45°

a_rξ = а_а cos 45° - а_к cos 45° = 2 cos 45° - 20 π² cos 45° =

= - (20 π² - ), м/с²;

a_rή = a_a cos 45° - + a_K cos 45° =

= 2 cos 45°- 20 π ² + 20 π ² cos 45°= , м/с².

Ответ: _rξ = _rή = - π, м/с;

a_rξ = -(20 π ² - ), м/с²; a_rή = , м/с².

14.15. Труба центробежного питателя, наклоненная под уг­лом а к вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоян­ной угловой скоростью (рис. 14.15, а). По трубе движется частица материала (точка М) по закону х = х₀ е ^pt, где х₀ - начальная

координата; р - константа. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в зависимости от ко­ординаты х.

а б

Рис. 14.15

Решение. Сложное движение точки М (частицы мате­риала) слагается из переносного движения, представляющего со­бой вращение трубы вокруг вертикальной оси O₁z₁, и относи­тельного прямолинейного движения частицы вдоль оси Ох (рис. 14.15,6).

Переносная скорость, равная скорости той точки трубы, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая частица,

_e = R- х sin α,

где R - расстояние от точки М до оси O₁z₁ переносного вра­щения.

Направлен вектор v_e перпендикулярно к плоскости, содер­жащей точку М и ось O₁z₁ питателя, в сторону вращения последнего, т. е. параллельно оси O₁y₁.

Закон и траектория относительного движения точки M из­вестны, поэтому относительную скорость легко определить:

_r = = ( ) = p =px;

направлен вектор _r вдоль оси Ох в положительную сторону. Абсолютную скорость частицы находим по уравнению (14.1)

_a = _e + _r.

Учитывая, что _{r e}, получаем

.

Для определения абсолютного ускорения частицы восполь­зуемся уравнением (14.3):

_а = _e + _r + (2)

Поскольку угловая скорость питателя = const, то его угло­вое ускорение = 0, поэтому касательная составляющая пере­носного ускорения =0, а модуль переносного ускорения ; направлен вектор от точки М к оси O₁z₁ перпендикулярно последней. Относительное ускорение

=

и направлено так же, как и вектор относительной скорости _r.

Кориолисово ускорение

а_к = 2 _r sin( , ^{^} _r)) = (sin 180°-α) = 2 sin α.

Направление вектора _к определяем по правилу Жуковского, для чего проецируем вектор _r на плоскость, перпендикулярную оси O₁z₁ ,и полученную проекцию поворачиваем вокруг точки М на 90° в сторону переносного вращения. В результате приходим к выводу, что вектор _к направлен так же, как и вектор v_e пере­носной скорости.

Модуль абсолютного ускорения частицы М находим через его проекции на координатные оси O₁x₁y₁z₁:

;

;

;

=

= =

= x .

Ответ: .;

= x .

14.16. На рис. 14.16, о изображен кулисный механизм погру­зочной машины с нагребающими лапами. Лапа схематично пред­ставлена в виде ломаного рычага ВАС, соединенного шарнирно с кривошипом ОА и скользящего внутри муфты В. Известны размеры: b = 0,1 м; h = 0,7 м; = 0,25 м; = 0,6 м. Частота вра­щения кривошипа постоянна и равна n = 40 мин^-1 . Определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы ВАС, а также скорость и ускорение передней кромки лапы (точки С) в данном положении механизма.

Решение. Решение задачи начинаем с изучения движения точки А, принадлежащей одновременно кривошипу 1 и кулисе 2 (рис. 14.16, б) и перемещающейся по окружности радиусом ОА.

Скорость этой точки

1,047 м/с

И направлена перпендикулярно кривошипу ОА в сторону его вращения (на рис. 14.16, б- вертикально вниз).

Рис. 14.16

Кривошип вращается равномерно, поэтому его угловое уско­рение = 0, следовательно, равно нулю и касательное ускоре­ние принадлежащей кривошипу точки А, а полное ускорение _А этой точки равно нормальному и направлено от А к О.

Модуль ускорения _А:

Обозначаем через В₂ точку на кулисе 2, совпадающую в данный момент с точкой В₃ муфты 3, т. е. с центром неподвиж­ного шарнира В. Считая движение точки В₂ сложным, состоя­щим из переносного движения вместе с точкой В₃ муфты со ско­ростью и относительного движения вдоль оси BD муфты со скоростью , составляем в соответствии с формулой (14.1) уравнение

= + .

Поскольку муфта вращается вокруг неподвижного центра В₃,то = 0, следовательно, = = ,т. е. абсолютная скорость

точки В₂ кулисы равна относительной скорости и направлена вдоль оси BD.

Таким образом, теперь известно, что векторы скоростей то­чек А и В₂ кулисы параллельны, Это значит, что мгновенный центр скоростей (МЦС) кулисы находится в бесконечности, ибо перпендикуляры к указанным векторам скоростей параллельны, и движение кулисы является мгновенно-поступательным, а все ее точки, в том числе и точка С, имеют одинаковые скорости, рав­ные _A; угловая скорость кулисы 0.

Ускорение точки В₂, совершающей сложное движение,

= + + (1)

где переносное ускорение = 0,так как точка B₃ существенно неподвижна; относительное ускорение направлено вдоль оси BD муфты; кориолисово ускорение = 0, поскольку угловая скорость кулисы, а следовательно и муфты, в данный момент равна нулю. В результате получили, что абсолютное ускорение точки В₂ равно относительному ( = ) и направлено вдоль прямой BD.

С другой стороны, ускорение точки В₂ можно определить, применяя теорию плоскопараллельного движения для кулисы и выбирая за полюс точку А:

= _A + + ; (2)

где = ; .

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем

= _A + , или = _A + . (3)

Проецируя уравнение (3) на ось Ох, имеем

0 = a_A cos α, откуда =a_A / cos α.

Теперь можно определить угловое ускорение кулисы:

его направление определяется направлением вектора .

Ускорение точки С находим по уравнению, аналогичному уравнению (2) для точки В₂,

где ; ; .

Направление вектора определяется направлением угло­вого ускорения .

Проецируем это уравнение на координатные оси:

= 4,386 + 7,31 0,7 = 9,503 м/с²;

= 7,31 0,1 = 0,731 м/с².

Полное ускорение точки С

= 9,531м/с².

Ответ: = 0; = 7,31 ;

_c = 1,047 м/с; 9,531 м/с².

14.17. В кулисном механизме шагания экскаватора (рис. 14.17, а) известны размеры , 0,6 м, = 0,2 м, а также постоянная частота вращения кривошипа п = 15 мин^-1 . Найти угловые скорость и ускорение штанги ВС, а также линейные скорость и ускорение лыжи С в показанный на рисун­ке момент опускания ее на почву.

Решение. Рассмотрим вначале движение принимаемого за точку шарнира А, соединяющего кривошип ОА и штангу ВС (рис. 14.17, б) и перемещающегося по окружности радиусом ОА.

Рис. 14.17

Скорость этой точки

0,236 м/с

и направлена перпендикулярно кривошипу ОА в сторону его крашения (на рис. 14.17, б - вертикально вниз).

Кривошип вращается равномерно, поэтому его угловое уско­рение = 0, следовательно, равно нулю и касательное ускоре­ние принадлежащей кривошипу точки А, а полное ускорение в этой точки равно нормальному и направлено от А к оси вращения кривошипа.

Модуль ускорения _А

Обозначаем через В₂ точку на штанге 2, совпадающую в данный момент с точкой В₃ муфты 3, т. е. с центром неподвиж­ного шарнира В. Считая движение точки В₂ сложным, состоя­щим из переносного движения вместе с точкой В₃ муфты со ско­ростью и относительного движения вдоль оси АВ муфты со скоростью , составляем в соответствии с формулой (14.1) уравнение

= + (1)

Поскольку центр В₃, вокруг которого вращается муфта, не­подвижен, то = 0, следовательно, = , т. е. абсолют­ная скорость точки В₂ кулисы равна относительной скорости и направлена вдоль оси ВС.

С другой стороны, скорость точки В₂ можно определить, применяя теорию плоскопараллельного движения для штанги и выбирая за полюс точку А:

= + . (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем

= + .

Графическое решение этого векторного уравнения (тре­угольник ) показано на рис. 14.17, в, откуда видно, что

;

,

где = arcsin (r / l_АВ) = arcsin (0,15 / 0,6) = arcsin 0,25 14,48°.

Угловая скорость штанги

c^-1.

Перемещая вектор в точку В₂ , определяем, что такое направление получает скорость этой точки при вращении штанги вокруг центра А против хода часовой стрелки.

Ускорение точки В₂ , совершающей сложное движение,

= + , (3)

где переносное ускорение = 0, так как точка В₃ существенно неподвижна; относительное ускорение направлено вдоль оси ВС муфты; кориолисово ускорение = 2 ; - угловая скорость муфты, по величине и направлению равная уг­ловой скорости штанги.

Поскольку относительное и переносное движения происхо­дят в одной плоскости, то угол между вектором переносной угловой скорости и вектором относительной скорости равен 90°, а модуль ускорения Кориолиса

= м/с².

Для определения направления по методу Жуковского по­ворачиваем вектор вокруг точки В на 90° в сторону пере­носного вращения.

В уравнении (3) три неизвестных: величина и направление ускорения и модуль ускорения Такое уравнение ре­шить нельзя, поэтому необходимо составить еще одно уравнение для определения ускорения точки В₂ , применяя теорию плоско-параллельного движения для штанги. Выбирая за полюс точку А, получим

,

где

= 0,0058 м/с²; ;

.

Приравнивая правые части уравнений (3) и (4), получаем векторное уравнение с двумя неизвестными (модули ускорений и ):

+ = . (5)

Это уравнение легко решается либо графически (см. рис. 14.17, г), либо аналитически методом проекций на оси координат.

Для ответа на поставленные в условии задачи вопросы не требуется знать величину относительного ускорения . По­этому выбираем направление осей так, чтобы ось была па­раллельна вектору этого ускорения, и проецируем уравнение (5) на ось :

,

откуда

м/с².

Угловое ускорение штанги

= 0,314 / 0,6 0,523 с^-2.

Переходим к определению скорости и ускорения точки С. Эту задачу можно решить различными способами. При использо­вании теории сложного движения точки к муфте жестко присое­диняют некоторую плоскость, параллельную плоскости чертежа, и выбирают на ней точку С₃, совпадающую в данный момент с точкой С штанги. Тогда движение точки С₃ будет переносным, а движение точки С по отношению к С₃ - относительным. Век­торные уравнения скорости и ускорения при этом будут анало­гичны уравнениям (1) и (3), причем и . Модуль ускорения находят, проецируя уравнение (5) на ось . Кориолисово ускорение сохраняется прежним, а скорость и ускорение точки С₃ вычисляют как кинематические параметры точки тела, совершающего вращательное движение вокруг оси В с угловой скоростью и угловым ускорением .

При графическом решении пользуются методом подобия планов скоростей и ускорений звена его очертанию. Этот метод прост, но требует точного графического построения и строгого соблюдения масштабов построения как схемы механизма, так и планов скоростей и ускорений.

Наиболее просто и точно, на наш взгляд, задача решается с помощью теории плоскопараллельного движения тела примени­тельно к движению штанги ВС. Выбирая, как и раньше, в каче­стве полюса точку А, по формуле (13.1) получаем

; ; = 0,098 0,2 = 0,0196 м/с.

Проекции скорости на координатные оси:

= 0,236 0,25 + 0,0196 = 0,0786 м/с;

= 0,236 cos 14,48° = - 0,2285 м/с.

Полная скорость точки С

= = 0,24м/с.

Ускорение точки С находим по формуле (13.2):

,

где = 0,098² м/с² ; ;

= 0,1046м/с²;

Проекции ускорения на координатные оси:

= cos + = 0,37 cos 14,48° + 0,1046 0,4628 м/с²;

а _Сy = sin + = 0,37 0,25 + 0,0019 0,0944 м/с².

Полное ускорение точки С

0,47 м/с².

Ответ: 0,098 c^-1; 0,523 с^-2;

0,24 м/с; 0,47 м/с².

1 4.18. Механизм напора карьерной лопаты (рис. 14.18, а) со­общает рукояти 1 постоянную скорость u₁ = 0,45 м/с относитель­но муфты 2; одновременно канат 3 наматывается с постоянной скоростью и₂ = 0,9 м/с. Известны размеры: r₁ = 7,5 м; r₂ = 8 м; α = 45°. Найти угловые скорость и ускорение рукояти, а также ско­рость точки М ковша.

Рис. 14.18

Решение. Сначала рассмотрим сложное движение точки М, принадлежащей рукояти AM рис. 14.18,6). В качестве пере­носного движения принимаем вращение рукояти вместе с муфтой вокруг оси шарнира А, в качестве относительного - прямоли­нейное перемещение точки М вдоль прямой AM с постоянной скоростью _r = , при выдвижении рукояти 1 из муфты 2.

Для определения кинематических параметров переносного движения жестко связываем с муфтой параллельную плоскости чертежа некоторую плоскость Q и находим на ней точку М₂, которая совпадает с проекцией точки М на эту плоскость. Ско­рость и ускорение точки М₂ являются соответственно переносной скоростью и переносным ускорением точки М. По­скольку плоскость Q вместе с муфтой совершает вращательное движение вокруг оси А, то и = где - угловая скорость муфты (и, естественно, рукояти). По формуле (14.1) абсолютная скорость точки М

(1)

В векторном уравнении (1) известны величина и направле­ние относительной скорости и линия действия (перпендику­ляр к AM) переносной скорости , а неизвестны величина и направление абсолютной скорости и модуль переносной скорости . Такое уравнение с тремя неизвестными решить нельзя, поэтому составляем еще одно векторное уравнение ско­рости точки М, относя ее на этот раз к канату 3. Участок MB каната совершает в данный момент плоскопараллельное движе­ние, состоящее из поступательного перемещения вдоль оси MB с шхггоянной скоростью ₂ и вращения вокруг точки В. Используя формулу (13.1), получаем

(2)

Где = ₂; =МВ; = ; -угловая скорость прямолинейного участка MB каната длиной . В уравнении (2) также три неизвестных - величина и направление скорости и модуль скорости . Но в системе векторных уравнений (1) и (2) общее число неизвестных равно четырем, а такая система разрешима.

В уравнениях (1) и (2) левые части одинаковы, следователь­но равны и правые части, т. е.

₂ + . (3)

Перестановка слагаемых в левой части этого уравнения не случайна, так удобнее для последующего построения плана ско­ростей, хотя для аналитического решения методом проекций ни­какого значения не имеет.

Векторный четырехугольник, соответствующий графиче­скому решению уравнения (3) и называемый планом скоростей механизма, показан на рис. 14.18, в.

Для аналитического решения проецируем уравнение (3) на оси координат, выбранные так, что ось p_vy направлена парал­лельно участку MB, при этом вектор _MB, величина которого неизвестна, перпендикулярен данной оси. Тогда проекция урав­нения (3) на ось p_vy имеет вид

,

откуда

= tg + ₂ / cos = 0,45 tg 45° + 0,9 / cos45° 1,723 м/с.

Угловая скорость рукояти = 1,723 / 7,5 0,23 с^-1.

Проекция уравнения (3) на ось p_vx

,

откуда

= = 0,45 cos 45° +1,723 sin 45° 1,536 м/с.

Угловая скорость каната ₃ = / r₂ = 1,536 / 8 = 0,192 c^-1.

Абсолютная скорость точки М

= = 1,78м/с.

Рассуждая аналогично при определении абсолютного уско­рения точки М и считая, что точка В находится еще пока на прямолинейном участке каната и коснется барабана лебедки только в следующий момент, получаем два векторных урав­нения:

; (4)

-z"

, (5)

где - нормальная составляющая переносного ускорения,

; = = 0,23² 7,5 = 0,397 м/с²;

- касательная составляющая переносного ускорения,

- угловое ускорение муфты и рукояти;

- относительное ускорение, в рассматриваемом слу­чае равное нулю, так как относительное движение -прямолинейное с постоянной скоростью; - кориолисово ускорение; направление вектора определяем по правилу Жуковского, поворачивая на 90° вектор относительной скорости в сторону переносного вращения; модуль этого ускорения

= = 0,207 м/с²;

- ускорение точки В, принимаемой за полюс плоско­параллельного движения прямого участка MB ка­ната; a_B = 0, так как скорость u₂ = const;

- нормальная составляющая ускорения точки М при вращательном движении прямого участка каната вокруг точки В,

; = 0,192² 8 = 0,295м/с²;

- касательная составляющая этого ускорения,

МВ; ;

- угловое ускорение прямого участка канала.

Приравнивая правые части уравнений (4) и (5) и переставляя слагаемые в левой части нового уравнения так, чтобы неизвестный по модулю вектор оказался последним, получаем

(6)

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 14.18, г.

Выбираем направления координатных осей, как указано на рис. 14.18, г, и проецируем уравнение (6) на ось :

,

откуда

= ctg α + - / sin =

= 0,397 ctg 45° + 0,207 - 0,295 / sin 45° 0,187 м/с².

Угловое ускорение рукояти

= c^-2.

Перенося вектор в точку М, находим, что направление

углового ускорения рукояти противоположно направлению ее угловой скорости.

Ответ: = 0,23 с^-1; 0,025 c^-2; 1,78 м/с.

14.19. Подъем буровой вышки производится с помощью гид­роцилиндра, установленного под углом α = 20° к вертикали (рис.14.19, а). Скорость движения штока цилиндра относительно его корпуса постоянна и равна и = 0,2 м/с. Известны размеры: l = 1,5 м и b = 0,8 м. Определить угловые скорость и ускорение вышки в указанном положении.

Решение. С цилиндром l связываем плоскость Q, па­раллельную плоскости чертежа и содержащую продольную ось цилиндра и штока (рис. 14.19, б). На этой плоскости отмечаем точку B₁, совпадающую в данный момент времени с центром шарнира B. Движение точки В рассматриваем как сложное, со­стоящее из переносного вместе с точкой B₁ (при вращении ци­линдра вокруг центра А) и относительного вдоль оси цилиндра со скоростью .

Абсолютной траекторией точки S является дуга окружно­сти радиусом СВ с центром в точке С.

Абсолютная скорость точки В:

_B = + ,

где _B = _a; _B BC; = _e; AB; = _r; .

Графическое решение этого векторного уравнения показано на рис. 14.19, б, откуда видно, что

= и tg α = 0,2 tg 20° 0,073 м/с;

_B = и / cos α = 0,2 / cos 20° 0,213 м/с.

Угловая скорость вышки

= _B /b = 0,213 / 0,8 0,266 c^-1.

Абсолютное ускорение точки В находим по формуле (14.3), учитывая, что _а = _B = + и _e = + + , так как и в абсолютном, и в переносном движении точки перемеща­ются по криволинейным траекториям, а = = 0, поскольку относительное движение равномерное и прямолинейное. В результате имеем

+ = + + , (1)

где ; = 0,266² - 0,8 0,0566м/с²; BC;

= 0,073²/1,5 0,0036м/с²; AB;

), AB.

Отметим, что мы сознательно не определяем модуль ускоре­ния Кориолиса, хотя это и не представляет никакой сложности. Дело в том, что в задании требуется определить только угловое ускорение вышки, для чего, как мы убедимся ниже, знать вели­чину кориолисова ускорения не требуется.

Графическое решение уравнения (1) показано на рис. 14.19, в (пунктирный от­резок представляет собой геометрическую сумму ле­жащих на одной прямой, но направленных в противопо­ложные стороны векторов ).

=а

Рис. 14.19, в

Выбираем оси координат так, чтобы ось πх была перпендику­лярна оси гидроцилиндра, и проецируем уравнение (1) на ось πу:

= ,

Откуда

= =0244 м/с².

Абсолютная величина углового ускорения вышки:

= 0,0305 с^-2

Перенося вектор в точку В, находим, что направление углового ускорения вышки противоположно направлению ее уг­ловой скорости.

Ответ: 0,266 с^-1; = 0,0305 с^-2.

14.20. В задаче 10.8 определить начальную скорость и на­чальное ускорение корпуса экскаватора, используя теорию слож­ного движения точки.

Рис. 14.20

Решение. Изображаем механизм в его начальном поло­жении (рис. 14.20) и исследуем движение точки А (центра шар­нира), принадлежащей корпусу 1 экскаватора и корпусу 3 гид­роцилиндра. Связываем со штоком некоторую плоскость Q, на которой выделяем точку , совпадающую в данный момент времени с точкой А. Теперь движение точки А можно рассматривать как сложное, состоящее из переносного движения вместе с точкой и относительного движения вдоль оси O₁x₁ со скоростью Переносная скорость как скорость точки тела Q, совершающего вращательное движение. Абсолютная скорость Ох.

В соответствии с уравнением (14.1) строим прямоугольник скоростей (см. рис. 14.20), из которого, предварительно определив α = arcsin (h/l₀) = arcsin(0,65 / 2,5)= 15,07°, находим

= / cos α = и / cos α = 0,1 / cos 15,07° 0,104 м/с;

= tg α = и tg α = 0,1 tg 15,07° = 0,027 м/с.

Абсолютное ускорение точки А определяем из уравнения (14,4), учитывая, что в данном случае относительное движение является прямолинейным и равномерным и поэтому

0 и = 0:

, (1)

где ; = 0,027² / 2,5 м/с²; AO₁; AO₁ , направление ускорения Кориолиса нахо­дим по правилу Жуковского, поворачивая вектор на 90° во­круг точки А в сторону переносного вращения; модуль этого ускорения, как мы убедимся ниже, при решении поставленной задачи вычислять не требуется.

Проецируя уравнение (1) на координатную ось Ax₁, получаем

откуда = -2,9 10^-4/ cos 15,07° -3 10^-4м/с².

Ответ: 0,104 м/с; = 3 10^-4м/с².

14.21. На рис. 14.21, а изображено начальное положение ме­ханизма шагания гидромонитора. Механизм представляет собой шарнирный параллелограмм ОАВО₁, приводимый в движение гидроцилиндром CD. Скорость и движения штока гидроцилин­дра относительно его корпуса постоянна: и = 0,2 м/с = const; = 1,4 м; α = 30°. Для данного положения механизма определить скорость и ускорение звена АВ, на котором установлен корпус гидромонитора.

Рис. 14.21, а, б

Решение. В любом положении механизма фигура ОАВО₁ остается параллелограммом, т. е. одинаковые по длине кривошипы

ОА и O₁В всегда параллельны друг другу. Поскольку _A OA, а _B O₁B, то _A || _B и мгновенный центр скоростей шатуна АВ постоянно находится в бесконечности, следовательно, шатун движется поступательно и для определения его скорости и уско­рения достаточно найти скорость и ускорение любой принадле­жащей ему точки, например точки С.

С корпусом гидроцилиндра жестко связываем некоторую плоскость Q, параллельную направляющей плоскости механизма (рис. 14.21, б). На плоскости Q отмечаем точку C_Q, совпадаю­щую в данный момент времени с точкой С. Движение последней рассматриваем как сложное, состоящее из переносного вместе с точкой C_Q и относительного (по отношению к C_Q ).

Тогда по формуле (14.1) абсолютная скорость точки С

_C = (1)

где _C = _B 0₁B; - переносная скорость точки C_Q , - относительная скорость, величина и направление которой заданы ( = ).

В уравнении (1) три неизвестных: модуль вектора _C , а также величина и направление вектора скорости точки C_Q , поэтому составляем еще одно уравнение скорости, рассматривая плоскопараллельное движение корпуса гидроцилиндра и прини­мая за полюс точку D:

= _D + , (2)

Где _D O₁D; _D = _B /2 = _C /2, так как ;

CD.

Подставляя (2) в (1), получаем

2 _D = _D + + ,

или

_D = + .

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 14.21, б. Из него видно, что

_D = и / cos α = 0,2 / cos 30° 0,231 м/с;

= v_D sin α = 0,231 sin 30° = 0,1155 м/с.

Тогда скорость звена АВ, равная скорости точки С,

= _c = _B = 2 _D = 2 0,231 = 0,462 м/с.

Для определения ускорения точки С используем уравнения (14.3) и (13.2), представляя их в виде

; (3)

= , (4)

где - абсолютное ускорение точки С, = = 2 _D, так как ; - переносное ускорение; – относительное ускорение, ⁼ 0, поскольку прямолинейное относительное движение происходит с постоянной скоростью; - кориолисово ускорение, CD, в данной задаче направление и величину этого ускорения определять нет необходимости; - ускорение полюса D в плоскопараллельном движении корпуса гидроци­линдра; и - нормальная и касательная составляю­щие ускорения точки C_Q при вращении плоскости Q вокруг полюса D, , ,

= = 0,1155² / l,4 9,53 10^-3 м/с².

Движение полюса D - криволинейное по дуге окружности с центром в точке O₁ поэтому ускорение полюса представляем в виде суммы нормальной и касательной составляющих, причем ;  =  0,231² /0,7 76,2 10^-3 м/с²; DO₁.

Подставляя (4.) в (3) и учитывая сделанные выше замечания. Получаем

+ = + + , (5)

Графическое решение этого векторного уравнения показано на рис. 14.21, в (пунк­тирный отрезок представляет собой геомет­рическую сумму лежащих на одной прямой и направленных в одну сторону векторов и ).

Выбрав координатные оси так, чтобы ось кх была перпендикулярна ускорениям и , проецируем уравнение (5) на эту ось:

sin α - cos α = ,

Рис. 14.21, в

Откуда

Полное ускорение точки D

a_D

Ускорение звена АВ, равное ускорению точки С,

Ответ: = 0,462 м/с; а = 0,166 м/с².

14.22. Ротор 1 лопастного гидравлического насоса (рис. 14. 12, а) вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси O₁ в пазах ротора перемещаются лопатки 2, концы кото­рых скользят по внутренней цилиндрической поверхности статора 3. Известны радиус R этой поверхности и эксцентриситет е.Для положений М ₁, М₂ и M₃ определить скорость ,

нормальное и тангенциальное ускорения конца лопатки (точки М), а также скорость _r и ускорение лопатки относи­тельно ротора.

Решение. Связываем с ротором 1 некоторую плоскость Q, перпендикулярную оси его вращения, и находим на этой плоскости точку M_Q, совпадающую в данный момент с иссле­дуемой точкой М (рис. 14.22, б). Теперь абсолютное движение точки М (скольжение конца лопатки 2 по внутренней цилинд­рической поверхности статора 3) можно представить состоящим из переносного движения вместе с точкой M_Q при вращении ро­тора (и плоскости Q) вокруг оси O₁ и движения относительно точки M_Q при поступательном перемещении лопатки вдоль паза ротора.

Абсолютную скорость точки М в любом положении лопат­ки определяем по формуле (14.1), в данном случае имеющей вид

, (1)

где = _a ОМ, так как абсолютной траекторией точки М является окружность радиусом ОМ, причем направлен вектор в сторону вращения ротора; - переносная скорость, т. е. скорость точки M_Q, направленная также в сторону вращения ро­тора, = О₁М , модуль = ; - относительная скорость ( = ), направленная вдоль оси лопатки, т. е. по радиусу ротора.

Таким образом, после вычисления величины переносной скорости остаются неизвестными модули векторов и , которые определяем для каждого заданного положения лопатки, построив предварительно соответствующие уравнению (1) век­торные прямоугольники скоростей. Для положения М₁.

= _r = 0; = _a = _e = (R + e).

Для положения M₂:

_e = ₂; _r = _e tg α; = _a = _e / cos α .

Значения tg a и cos a находим из треугольника OM₂0\.

tg α = OO₁ / 0₁ M₁ = e / O₁ M₂, cos α = O₁M₂ / OM₂ = O₁M₂ / R .

Тогда

_r = O₁M₂ e / O₁M₂ = e; = _a = O₁M₂ / (OM₂ / R) = .

Для положения M₃.

_e = O₁M₃ = (R-e); _r = 0; = _a = _e = (R - e).

При вычислении ускорения точки М примем во внимание следующее. Поскольку абсолютная траектория криволинейна (окружность радиусом R), то абсолютное ускорение целесо­образно представить двумя составляющими нормальной и касательной По условию задачи ротор вра-Швстся равномерно, следовательно, переносное ускорение = . Относительное ускорение прямолинейного движения , линией его действия является ось лопатки, т. е. радиус O₁М ротора, но направление этого ускорения трансе неизвестно. С учетом этих соображений уравнение (14.3) для определения абсолютного ускорения точки при ее сложном движении принимает вид

.. (2)

Полагая, что во всех исследуемых положениях лопатки насо­са вектор касательной составляющей абсолютного ускорения направлен в сторону движения точки М, а вектор относи­тельного ускорения - по радиусу O₁М ротора в направлении от точки М к центру O₁, воспользуемся методом проекций вектор­ного уравнения на оси координат. Если в результате решения мо­дуль какого-либо из этих ускорений получит отрицательное зна­чение, то это значит, что действительное направление данного вектора противоположно принятому.

Для положения М₁:

= ²/R = ²(R + e)²/ R; а_е = ²(Я + е).

Кориолисово ускорение а_к = О, так как _r = 0. Проецируя уравнение (2) на оси Ох и Оу, получаем

= 0;

- = - а_е – а_r,

откуда а_r = - а_е. = (R + e)²/ R - (R + е) = ²(R + е) е / R > 0, следовательно, направление от точки М₁ к центру O₁ было выбрано верно.

Для положения M₂.

a_n = ² / R = ( R)² / R = ²R; a_e = ² O₁M₂= ² ;

a_к = 2 _r sin ( , ^ _r) = 2 е sin 90° = 2 ²е ,

где угол между векторами и равен 90°, поскольку перенос­ное и относительное движения происходят в одной плоскости. Направление кориолисова ускорения находим по методу Жу­ковского, поворачивая вектор на 90° вокруг точки М₂ в сто­рону переносного вращения.

Проецируя уравнение (2) на оси Ох и Оу, получаем соот­ветственно

- a_n cos α - sin α = - а_е - а_r; (3)

a_n sin α - cos α = а_к. (4)

Из уравнения (4) находим

Теперь из уравнения (3) имеем

a_n cos α + sin α - а_е =

Поскольку полученные значения ускорений отрицательны, то действительные их направления противоположны указанным на рис. 14.22, б.

Для положения М₃:

a_n = ² / R = ²(R + e)² / R; а_е = ² (R - е).

Кориолисово ускорение а_к = 0, так как _r = 0. Проецируя уравнение (2) на оси Ох и Оу, получаем

= 0;

= - а_е + а_r,

откуда а_r = - а_е. = (R - e)²/ R - (R - е) = ²(R - е) е / R < 0, т. е. действительное направление противоположно указанно­му на рис. 14.22, 6.

Ответ: Для положения М₁:

= (R + e); = ²(R + e) / R; =0;

_r=0; a_r = ²(R + е) е / R;

для положения М₂:

= ; ²R; =- ²eR ;

_r = e; a_r =- ²e² / ;

для положения М₃:

= (R - e); a_n = ²(R - e)²/ R; = 0;

_r= 0; a_r = ²(R + е) е / R.

Вектор в положении М₁ направлен по радиусу O₁M₁ к центру ротора, а в положениях М₂ и М₃ - соответственно по радиусу O₁M₂ и по радиусу O₁M₃ от центра O₁.

В положении М₂ вектор касательного ускорения точки направлен противоположно векто­ру скорости.

14.25. В изображенном на рис. 14.25, а положении механиз­ма шагания экскаватора лыжа В опирается на почву. При даль­нейшем повороте кривошипа ОА начинается движение корпуса К. В процессе перемещения корпуса лыжа неподвижна, а опор­ная точка С корпуса скользит по почве. Проекции скорости и ускорения точки В относительно корпуса на оси х и у извест­ны: _rx = 0; _ry = 0,209 м/с; _rx = - 0,192 м/с²; _ry = 0,0212 м/с².

а б

д

Рис. 14.25

Определить для указанного положения системы угловую ско­рость и угловое ускорение корпуса, а также скорость и ускорение точки С, если = 5 м.

Указание. Рассмотреть движение точки В относительно подвиж­ных осей, связанных с корпусом К.

Решение. Выбираем в системе координат ху, жестко свя­занной с корпусом, точку В_к, совпадающую в данный момент с точкой В шатуна АВ (рис. 14.25,6). Движение точки В пред­ставляем как сложное, слагающееся из переносного движения вместе с точкой В_к и относительного движения по отношению к точке В_к.

Абсолютная скорость точки В:

. (1)

Скорость точки В_к корпуса, совершающего плоскопарал­лельное движение, определяем по формуле (13.1), принимая за полюс опорную точку С:

(2)

где вектор vc параллелен оси х, поскольку точка С скользит по горизонтальному участку почвы; BC, - угловая скорость корпуса. Подставляя (2) в (1), получаем

= . (3)

В рассматриваемый момент времени лыжа опирается на поч­ну, т. е. не движется, следовательно, = 0.

Проецируем уравнение (3) на оси координат, учитывая, что

= _rx = 0; = _ry :

0 = + 0 + 0;

0 = 0+ + ,

откуда = 0; = - = -0,209 м/с (знак "минус" означает, •их) направление вектора противоположно направлению

оси y), тогда = = =0,0418 с^-1, т. е. угловая скорость корпуса направлена по ходу часовой стрелки.

Проведя аналогичные рассуждения при определении ускоре­ний, получим следующие уравнения:

;

;

= + + , (4)

где - абсолютное ускорение точки В, в процессе перемеще­ния корпуса эта точка неподвижна, поэтому = 0; а_в -уско­рение точки ; относительное ускорение, проекции ко­торого заданы; -ускорение Кориолиса, = 2 _r = 2 0,0418 0,209 0,0175 м/с²; - ускорение точки С, параллельное оси х, поскольку эта точка перемещается по горизонтальной прямой; - нормальное ускорение точки В_к при вращении корпуса вокруг полюса С, ,

(-0,418)² 5 = 8,74 10^-3м/с²; - касательное

ускорение точки В_к, , = .

Проекции уравнения (4) на координатные оси.

0 = - + 0 + ;

0 = 0 + 0 + + + 0,

откуда

= = 0,00874 - (- 0,192) - 0,0175 0,183 м/с²;

= - = -0,0212м/с².

Угловое ускорение корпуса

c^-2.

Направление углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости.

Ответ: = - 0,0418 c^-1; = - 0,00424 с^-2;

=0; -0,183 м/с².

/////////////////////////////////////////////////////////