Методи розв’язку
Можна виділити три методи рішення звичайних диференціальних рівнянь: точні, наближені і чисельні.
Точні методи передбачають одержання рішення у вигляді комбінації елементарних функцій або у вигляді квадратур від останніх. Можливості точних методів обмежені.
Наближені
методи зводяться до побудови послідовності
функцій
,
які мають межею шукану функцію
.
Обриваючи цю послідовність на якомусь
,
одержують наближене рішення.
Найбільш універсальними методами рішення є чисельні. Їхній основний недолік - можливість одержання тільки часткового рішення.
Варто мати на увазі наступну обставину. Успіх від застосування чисельного методу сильно залежить від обумовленості задачі, тобто задача повинна бути добре обумовлена, а саме, малі зміни початкових умов повинні приводити до малих змін у рішенні. У противному випадку (слабкої стійкості) малі погрішності в початкових даних або погрішності чисельного методу можуть призводити до великих погрішностей у рішенні.
Числові методи
На практиці для пошуку рішень диференціальних рівнянь найбільш застосовуються числові методи, що забезпечують побудову різницевих схем (методів) різного порядку точності.
Попередньо
введемо деякі поняття і визначення.
Сіткою на відрізку
називається фіксована множина точок
цього відрізка
.
Функція, визначена в даних точках,
називається сітковою функцією. Координати
точок
задовольняють умовам
.
Точки
є вузлами сітки. Рівномірною сіткою на
називається множина точок
,
,
де
- крок сітки.
При
рішенні диференціальних рівнянь
наближеним методом основним є питання
про збіжність. Стосовно до різницевих
методів традиційно більш уживане поняття
збіжності при
Позначимо
значення сіткової функції
значення точного рішення диференціального
рівняння (5.1) у вузлі
-
(
є наближеними значеннями
).
Збіжність при
означає наступне. Фіксуємо точку
і будуємо сукупність сіток
таким чином, що
і
(при цьому
).
Тоді вважають, що чисельний метод
сходиться в точці
,
якщо
при
,
. Метод сходиться на відрізку
, якщо він сходиться в кожній точці
. Говорять, що метод має
-й
порядок точності, якщо можна знайти
таке число
,
що
при
.
Уведемо
далі поняття нев'язки або погрішності
апроксимації різницевого рівняння, що
заміняє задане диференціальне рівняння,
на рішення вихідного рівняння, тобто
нев'язка
являє
собою результат підстановки точного
рішення рівняння (11.12)
у різницеве рівняння. Наприклад, (11.12)
можна замінити наступним найпростішим
різницевим рівнянням
,
.
Тоді нев'язка визначиться наступним виразом
.
Наближене
рішення не збігається взагалі говорячи
з
,
тому нев'язка
в
-ій
точці не дорівнює нулю. Уводять наступне
визначення: чисельний метод апроксимує
вихідне диференціальне рівняння, якщо
при
,
і має
-й
порядок точності, якщо
.
Доводиться, що порядок точності чисельного методу рішення диференціального рівняння збігається з порядком апроксимації при досить загальних припущеннях.
Тепер перейдемо до аналізу схем чисельних методів. Спочатку звернемося до схем першого порядку точності.