Складені формули трапецій

Складені формули – це наближення даної площі послідовністю трапецій (або парабол для Симпсона), які розташовані паралельно одна одній (див рис. ).

Припустимо, що інтервал розбитий на m підінтервалів однакової довжини , рівностоячими вузлами . Складену формулу трапецій для m підінтервалів можна виразити одним із трьох еквівалентних способів:

; Y

; (9.16)

; X

a=x₀ x₁ x_m=b

Аналогічно складену формулу Симпсона для 2m підінтервалів можна виразити формулами:

;

(10.17)

або .

Залишкові члени для формул трапецій і Симпсона мають відповідно порядок і , і рівні:

; (10.18)

. (10.19)

Якщо відомі відповідні похідні функції , то ці формули можна використовувати для підрахунку числа інтервалів, які потрібно для досягнення заданої точності m=(a+b)/h.

Рекурентні формули й інтегрування за Ромбергом

Для точного наближення функції необхідно велика кількість інтервалів. Скільки їх вибрати? Відповісти на це питання може допомогти процес послідовного вибору двох, чотирьох і більше підінтервалів, аж поки не буде досягнута задана точність.

• Рекурентна формула трапеції починається з , а послідовність формул трапеції генерується згідно з рекурентної формули

(10.20)

і

Між формулою трапеції і рекурентною формулою Симпсона існує залежність.

• Якщо обчислення виконуються за формулою трапецій з кроками 2h і h, а результатами є і , то, поєднуючи ці значення, можна одержати формулу Симпсона:

(10.21)

Рекурентна формула Буля

Для складеної формули Буля отриманої шляхом інтегрування поліномів Лагранжа четвертого степеня для рівновеликих інтервалів можна записати:

. (10.22)

Якщо припустити, що - послідовність формул Симпсона і - формула Буля для 2^J підінтервалів інтервала , то задовольняє співвідношенню

для J = 2, 3 … (10.23)

Квадратурна формула Гауса

Розглянемо більш детально інтегрування функцій з використанням формул Гауса, які володіють найвищою алгебраїчною точністю.

Нехай функція задана на стандартному інтервалі . Завдання полягає в тім, щоб підібрати точки і коефіцієнти так, щоб квадратурна формула

(10.29)

була точною для всіх поліномів найвищого можливого ступеня.

Через те, що існує параметрів і , а поліном степеню визначається коефіцієнтами, цей найвищий степінь у загальному випадку .

Запишемо поліном у вигляді і підставимо в (3.29). Одержимо

,

.

Прирівнюючи вирази при однакових коефіцієнтах одержимо

, ,

, .

Отже, і знаходять із системи рівнянь

, (10.30)

Лекція №11 Рішення диференційних рівнянь та систем рівнянь

Постановка задач і огляд методів. Розв’язок звичайних диференційних рівнянь (ЗДР) Методи Ейлера, Гюна, Тейлора. Методи Рунге-Кута. Багатошагові методи розв’язку ЗДР: Адамса Мілна і Хемінга. Наближені і числові методи розв’язку систем диференційних рівнянь (задачі Коши). Вирішення диференційних рівнянь вищих порядків.

Звичайними диференціальними рівняннями (ЗДР) називаються рівняння з однією незалежною змінною. Якщо незалежних перемінних більше, ніж одна, то рівняння називається диференціальним рівнянням з частковими похідними (ДРЧП).

Диференціальні рівняння застосовуються в науці і техніці для математичного опису та моделювання процесів і явищ. За допомогою звичайних диференціальних рівнянь будуються моделі руху систем взаємодіючих часток, електротехнічних процесів в електричних ланцюгах, кінетики хімічних реакцій, процесів заселення рівнів енергії у високотемпературних середовищах і багатьох інших об'єктів і процесів.