1Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек   ( ) из некоторой области  . Пусть значения функции   известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции   из заданного класса функций, что

• Точки   называют узлами интерполяции, а их совокупность —интерполяционной сеткой.

• Пары   называют точками данных или базовыми точками.

• Разность между «соседними» значениями   — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

• Функцию   — интерполирующей функцией или интерполянтом.

2 Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений   определяет соответствующие значения  :

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для  пар чисел  , где все   различны, существует единственный многочлен   степени не более  , для которого  .

В простейшем случае ( ) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

 обладают следующими свойствами:

• являются многочленами степени 

• 

•  при 

Отсюда следует, что  , как линейная комбинация  , может иметь степень не больше  , и 

Лине́йная интерполя́ция — частный случай полинома Лагранжа  интерполяция алгебраическим двучленом P₁(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

3Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции   прямой, проходящей через точки (Х₀, У₀)  и (Х₁, У₁).

пример линейной интерполяции

Уравнение такой прямой имеет вид:

отсюда для 

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом

где   — погрешность формулы:

Справедлива оценка

Билинейная интерполяция — в вычислительной математике расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Ключевая идея заключается в том, чтобы провести обычную линейную интерполяцию сначала в одном направлении, затем в другом.

Четыре красные точки представляют собой известные значения функции. Значение в зеленой точке должно быть интерполировано.

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции f в точке P = (x, y). Для этого необходимо знать значения функций в (окружающихP) точках Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁= (x₂, y₁), и Q₂₂ = (x₂, y₂).

Первым шагом интерполируется (линейно) значение вспомогательных точек   и   вдоль оси абсцисс, где

 

Теперь проводится линейная интерполяция между вспомогательными точками   и  .

Это и есть приблизительное значение функции в точке P, то есть f(x, y).

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов. Возможно сначала интерполировать между известными точками вдоль оси ординат и затем, получив два вспомогательных значения, интерполировать между ними вдоль оси абсцисс. Результат будет тот же.

Кубический сплайн

Некоторая функция f(x) задана на отрезке  , разбитом на части  ,  . Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция  , которая:

• на каждом отрезке   является многочленом степени не выше третьей;

• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке  ;

• в точках   выполняется равенство  , т. е. сплайн  интерполирует функцию f в точках  .

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования.

Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида: