Неявні методи

Введемо поняття стійкості різницевого методу. Для цього розглянемо вже згадуване різницеве рівняння багатокрокового методу

, . (11.59)

Однорідне різницеве рівняння, що відповідає (5.12), має вигляд

. (11.60)

Говорять, що рівняння (11.60) стійке за початковими даними, якщо існує постійна , що не залежить від , така, що при будь-яких початкових даних має місце нерівність

, .

Питання стійкості за початковими даними вирішується шляхом розгляду коренів так званого характеристичного рівняння, одержуваного з (11.60), якщо рішення цього рівняння шукати у вигляді . Підставляючи дане в (11.60) і скорочуючи на , одержимо характеристичне рівняння для одержання :

. (11.61)

Справедлива наступна теорема. Для стійкості рівняння (11.60) за початковими даними необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова коренів, а саме: усі корені характеристичного рівняння повинні розташовуватися усередині або на границі одиничного кола комплексної площини, причому на границі не повинно бути кратних коренів.

Доводиться наступне твердження. Нехай , умова коренів виконана, при , , і різницеве рівняння (11.59) апроксимує вихідне диференціальне рівняння (11.12). Тоді рішення різницевої задачі (11.59) сходиться при до рішення вхідної задачі (11.12). Говорячи іншими словами, з апроксимації і стійкості за початковими даними випливає збіжність на обмеженому відрізку .

Сформульована умова стійкості, що базується на аналізі розташування коренів характеристичного рівняння (11.61), є дуже загальною. Конкретизуємо питання про стійкість різницевого рівняння стосовно до асимптотично стійких рішень рівняння (11.12). Нехай , , тобто

. (11.62)

Рішення цього рівняння асимптотично стійко, тобто при будь-яких справедлива оцінка

. (11.63)

Логічно зажадати, щоб і різницеве рівняння давало рішення, яке володіє властивістю (11.63). Використовуючи явний метод Ейлера першого порядку апроксимації, одержимо різницевий аналог (11.62)

, , (11.64)

або

, тобто .

Оцінка (11.63) буде виконана для (11.64) тільки в тому випадку, якщо , тому що тоді . З випливає обмеження на крок : .

Різницевий метод (11.59) називається абсолютно стійким, якщо стійкість має місце при будь-яких , і умовно стійким, якщо вона може бути забезпечена тільки введенням обмежень на крок .

Як приклад абсолютно стійкого методу традиційно розглядається неявний метод Ейлера, що має перший порядок апроксимації

. (11.65)

З (11.65) випливає

,

тобто завжди, при будь-яких .

Умовна стійкість приводить до необхідності вибирати малі значення кроку , що є недоліком явного методу. Неявний метод, позбавлений даного обмеження, має інший досить істотний недолік, обумовлений необхідністю рішення на кожнім кроці алгебраїчного рівняння (або системи рівнянь, у загальному випадку нелінійних).

Запишемо різницеве рівняння (11.59) для задачі (11.62):

, , (11.66)

де - у загальному випадку комплексний параметр.

Характеристичне рівняння для (11.66) має вигляд

. (11.67)

При малому корені (11.67) близькі до коренів (11.60).

Областю стійкості методу (11.59) називається множина точок комплексної площини , для яких даний метод, застосований до рівняння спеціального виду (11.62), є стійким.

Для явного методу Ейлера умова стійкості при комплексному виглядає в такий спосіб: , тобто областю стійкості є коло одиничного радіуса, центр якого знаходиться в точці комплексної площини.

Для неявного методу Ейлера умова відповідає нерівності , тобто областю стійкості є зовнішня область кола одиничного радіуса з центром у точці .

Різницевий метод називається стійким, якщо область його стійкості включає ліву напівплощину (або ). Варто звернути увагу на те, що рівняння (11.62) асимптотично стійко при . Отже стійкий різницевий метод є абсолютно стійким (тобто стійким при будь-яких ), якщо стійке рішення вихідного диференціального рівняння.

З приведеного вище розгляду видно, що неявний метод Ейлера має властивість стійкості, а явний метод - немає.

Розглянемо ще один неявний метод більш високого порядку апроксимації (другого):

. (11.67)

Цей метод виходить заміною інтеграла від правої частини (11.12) на довжині кроку за формулою трапецій. Стосовно до рівняння (11.62) метод (11.67) виглядає так:

,

тобто , якщо , тобто метод (11.67) відноситься до стійкого.

Існує доказ наступних положень:

- серед методів (11.59) не існує явних стійких методів;

- серед неявних лінійних багатокрокових методів немає стійких методів, що мають порядок точності вище другого.

стійкі різницеві схеми дуже ефективні при рішенні так званих жорстких систем рівнянь, тому що ці методи не накладають обмежень на крок . Розглянемо докладніше це твердження.

Система звичайних диференціальних рівнянь

(11.68)

с незалежної від матрицею називається жорсткою, якщо , і відношення велике, де - власні числа матриці . Величина називається числом жорсткості. Якщо матриця залежить від , то і - залежать від , тоді вводиться перемінне число жорсткості

і оперують з величиною на відрізку інтегрування.

Відмінною рисою жорстких систем є наявність у їхньому рішенні як швидко, так і повільно убутних компонентів. При рішення системи практично визначається повільно убутним компонентом, однак, якщо скористатися явними різницевими методами, то швидко убутна складова буде негативно впливати на стійкість, і в результаті весь розрахунок необхідно вести з малим кроком інтегрування. При використанні ж неявних методів обмеження на крок зняті, і його величину визначають з умови досягнення потрібної точності, не піклуючись особливо про стійкість.

При рішенні жорстких систем диференціальних рівнянь добре зарекомендував себе метод Гіра, що відноситься до чисто неявних багатокрокових різницевих методів, загальна формула яких виглядає в такий спосіб:

, (11.69)

тобто розглядається приватний варіант методу (11.59), коли , а .

При і маємо , тобто неявний метод Ейлера. При і методи виглядають таким чином

, (11.70)

. (11.71)

Різницеве рівняння (11.70) має другий порядок точності, а (11.71) - третій. Щоб знайти область стійкості методу, варто записати аналогічні рівняння для диференціального рівняння (11.62). Наприклад, (11.70) прийме вигляд

.

Відповідне характеристичне рівняння запишеться в такий спосіб

. (11.72)

Наша задача визначити область комплексної площини , у точках якої обидва корені (11.72) по модулю менше одиниці. Виявляється, що ця область цілком розташовується в правій площині і метод (11.70) є стійким.

Метод (11.71) відноситься до так званих - стійких методів.