Вопрос 15. Общая классификация экономико-математических моделей

Линейные модели содержат целевую функцию и ограничения, линейные относительно переменных.

В нелинейных моделях – целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.

Особый случай в задачах линейного и нелинейного моделирования – целочисленные модели – когда на оптимальные решения накладывается условие целочисленности.

Если параметры целевой функции и (или) системы ограничений изменяются во времени или процесс решения имеет многошаговый характер, такие задачи решаются методами динамического программирования.

Указанные выше модели называются детерминированны­ми, т.к. предполагается, что вся информация о протекании процессов заранее известна и достоверна.

Стохастические модели. Если под влиянием каких-то причин невозможно точно определить значения параметров (число покупателей в магазине, количество пассажиров на авиалинии, количество заказов в мастерской) исследуемой проблемы, то такая проблема относится к стохастической, а модели и методы, применяемые для решения задач со случайными и неопределенными факторами, называются моделями и методами стохастического программирования. К ним относят, например, модели выработки решений в усло­виях конфликтных ситуаций – теорию игр.

Векторная оптимизация занимается задачами, где находят решение по нескольким целевым функциям.

С помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.

Вопрос 16. Линейные экономико-математические модели

Рассмотрим пример. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в таблице.

	Расход древесины, м3		Цена изделия, тыс. руб.
	хвойные	лиственные
Стол	0,15	0,25	0,7
Шкаф	0,3	0,1	1,3
Запасы древесины	100	50

Определить оптимальное количество столов и шкафов, которое следует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы.

Решение. Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием оптимальности решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов? Т.е. каков вид экстремума целевой функции – max или min?

2) Что является входными параметрами, т.е. искомыми величинами задачи?

3) Какие ограничения в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?

Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.

Цель решения – максимальный доход. Критерий оптимальности – доход. Вид экстремума целевой функции – максимум. Максимальный доход складывается из суммы произведений цен изделий и количеств изделий. Цены известны из исходных данных. Искомыми величинами являются количества выпускаемых изделий, которые обозначим следующим образом: через х₁ – количество столов, х₂ – количество шкафов.

Целевая функция имеет вид f = 0,7 ∙ х₁ + 1,3 ∙ х₂  max

Система ограничений включает ограничения трех видов:

1) ограничения на запасы древесины

0,15∙х₁ + 0,3∙х₂  100

0,25∙х₁ + 0,1∙х₂  50

2) условие неотрицательности переменных

х₁, х₂ ≥ 0

3) условие целочисленности переменных.

Для решения задач оптимизации в Excel существует инструмент «Поиск решения», доступ к которому осуществляется из надстройки «Пакет анализа».

Решение задачи в Excel:

В ячейки В3:С3 будет помещен результат, в ячейках В7:С7 записаны коэффициенты целевой функции, в ячейки В10:С11 занесены ограничения, в ячейки F10:F11 занесены имеющиеся запасы.

В диалоговом окне Поиск решения в поле Установить целевую ячейку вводим ячейку D7, устанавливаем переключатель Равной в положение «максимальному значению», в поле Изменяя ячейки вводим диапазон ячеек В3:С3, в поле Ограничения вводим ограничения:

D10 <= F10

D11 <= F11

В3:С3 >= 0

В3:С3 = цел (рисунок 3).

Рис.3 – Ввод условия целочисленности переменных задачи

После нажатия кнопки Выполнить получаем ответ, представленный на рисунке.

Ответ: следует выпускать 84 стула и 290 шкафов.