Вопрос 19. Экономический анализ решения задач линейного программирования

На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.

Чувствительность экономико-математической модели – это зависимость оптимального решения от изменения параметров исходной задачи.

Выделяют следующие три основные задачи анализа оптимального решения на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

а) на сколько можно увеличить (ограничения типа  ) или уменьшить (ограничения типа  ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения целевой функции (ЦФ)?

б) на сколько можно уменьшить (ограничения типа  ) или увеличить (ограничения типа  ) запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения коэффициентов целевой функции: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

Двойственные оценки являются:

1) показателем дефицитности ресурсов и продукции. Чем больше значение оценки у_i i-го ресурса тем выше дефицитность ресурса. Для недефицитного ресурса у_i = 0;

2) показателем влияния изменения правой части ограничений (запасов ресурсов) на значение целевой функции. Практический интерес представляют пределы (нижний и верхний) изменения ресурсов, в которых величины оценок остают­ся неизменными.

3) показателем эффективности производства отдельных видов продукции с позиций критерия оптимальности.

Анализ решения линейной задачи разберем на примере задачи определения оптимального ассортимента выпускаемой продукции.

Пусть задача имеет следующую математическую модель Модель двойственной задачи

Пусть данные на листе Excel размещены следующим образом

Результат решения:

х₁ = 397,5; х₂ = 0; х₃=191,25; Fmax = 129 825.

Решение ДЗ получают с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ автоматически, при решении прямой задачи путем формирования трех отчетов: по результатам, по устойчивости, по пределам.

Отчет по результатам

Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$D$12	максимальная прибыль	0	129825
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$3	значение продукт 1	0	397,5
	$C$3	значение продукт2	0	0
	$D$3	значение продукт3	0	191,25
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$E$8	компл. изд. левая часть	3120	$E$8<=$G$8	связанное	0
	$E$9	сырье левая часть	2707,5	$E$9<=$G$9	не связан.	292,5
	$E$10	материалы левая часть	3150	$E$10<=$G$10	связанное	0

В отчете ПО РЕЗУЛЬТАТАМ приводятся сведения о целевой ячейке и списке изменяемых ячеек модели, в которых хранятся значения искомых неизвестных, их исходных и конечных значениях, а также формулах ограничений.

Если значение изменяемой ячейки (колонка «результат») равно 0, то это означает, что данный продукт2 не входит в оптимальное решение (оптимальный план выпуска продукции) и считается нерентабельным.

Если изделие вошло в оптимальный план (х_j > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашей задаче это продукт1 и продукт3.

Если значение изменяемой ячейки равно 0, то это означает, что данная продукция (продукт2) не входит в оптимальное решение (оптимальный план выпуска продукции) и считается нерентабельной, поскольку стоимость ресурсов, затраченных на производство данного продукта, больше его прибыли. Проверим это утверждение: подставим в ограничения двойственной задачи значения двойственных оценок

В колонке СТАТУС отображено, какое ограничение – связанное или не связанное. Указано, что первое и третье ограничения связанные. Это означает, что первый и третий ресурс используются полностью в производстве и сдерживают рост целевой функции. Связанный ресурс называется дефицитным. Второе ограничение – не связанное, т.е. второй ресурс (сырье) не использован в объеме 292,5 ед., находится в излишке, имеет нулевую теневую цену, не влияет на план выпуска продукции. Несвязанный ресурс называют недефицитным или избыточным.

Ресурс недефицитен не из-за его неограниченных запасов, а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию.

Для ограничений в графе "Разница" показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием (правой частью ограничения). Ресурс сырье не использован в количестве 292,5 ед.

Таблица Ограничения отчета по результатам дает информацию для анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного оптимального значения целевой функции. Если на ресурс наложено ограничение типа , то в графе Разница указывается количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального решения. Из нашей задачи следует, что запас недефицитного ресурса “сырье” можно уменьшить на 292,5 ед и это никак не повлияет на оптимальное решение (выпуск продуктов х₁ = 397,5; х₂ = 0; х₃=191,25).

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение (переменных)	стоимость	коэффициент (при ЦФ)	Увеличение	Уменьшение
	$B$3	значение продукт 1	397,5	0	240	30	100
	$C$3	значение продукт 2	0	-150	210	150	1,00E+30
	$D$3	значение продукт 3	191,25	0	180	300	20
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$E$8	компл. изд. левая часть	3120	3,75	3120	180	1020
	$E$9	сырье левая часть	2707,5	0	3000	1E+30	292,5
	$E$10	материалы левая часть	3150	37,5	3150	1530	390

В отчете по устойчивости графа НОРМИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ показывает, на сколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения дополнительной единицы этой продукции в оптимальное решение. Таким образом, элемент второй строки (–150) для продукт2 показывает, что значение целевой функции уменьшится на 150 ед., если значение переменной х₂ увеличить на единицу. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0.

Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции.

В колонках ДОПУСТИМОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ и ДОПУСТИМОЕ УМЕНЬШЕНИЕ приведены пределы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение (сохраняется первоначальное оптимальное решение). Это позволяет оценить устойчивость решения задачи.

Во втором блоке отчета приведены данные о ресурсах.

ТЕНЕВАЯ ЦЕНА (двойственная оценка) показывает дефицитность ресурса и меру его дефицитности.

Третий ресурс (материалы) является самым дефицитным, так как его теневая цена самая высокая. Второй ресурс (сырье) является избыточным, поэтому его теневая цена равна нулю.

Теневая цена показывает, на сколько изменится значение целевой функции в оптимальном решении при увеличении ресурса на единицу. Если наличие третьего ресурса будет не 3150, а 3149, то значение целевой функции уменьшится на 37,5. При увеличении ресурса на единицу значение целевой функции увеличится на 37,5.

Выгоднее в первую очередь увеличивать запас наиболее дефицитного ресурса, имеющего самую высокую теневую цену.

На сколько бы ни изменялся запас избыточного (недефицитного) ресурса в допустимых пределах, значение целевой функции не изменится.

Используя отчет по устойчивости, можно оценить рентабельность нового продукта. Например, требуется оценить целесообразность введения в план производства четвертого вида продукта, нормы затрат ресурсов которого соответственно равны 5 (комплектность), 6 (сырье) и 6 (материалы) ед., а прибыль от реализации единицы продукта составит 200 ден. ед.

Рассчитаем стоимость ресурсов, расходуемых на единицу этой продукции:

5*3,75 + 6*0 + 6*37,5 = 243,75 ден. ед.

Получаем, что затраты на выпуск продукции превышают прибыль, получаемую за нее. Поэтому выпускать такую продукцию нецелесообразно. Это продукция будет рентабельной при установлении ее прибыли больше, чем 243,75 ден. ед.

Отчеты по устойчивости и о пределах не создаются для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел.

Отчет по пределам

		Целевое
	Ячейка	Имя	Значение
	$D$12	максимальная прибыль	129825
		Изменяемое			Нижний	Целевой		Верхний	Целевой
	Ячейка	Имя	Значение		предел	результат		предел	результат
	$B$3	значение продукт 1	397,5		0	34425		397,5	129825
	$C$3	значение продукт2	0		0	129825		0	129825
	$D$3	значение продукт3	191,25		0	95400		191,25	129825

В отчете по пределам

Столбец Значение – оптимальное значение переменной.

Нижний предел, верхний предел – наименьшее или наибольшее значение, которое может иметь изменяемая ячейка при условии, что ограничения еще выполняются, а значения остальных изменяемых ячеек фиксированы (равны оптимальным).

Целевой результат - это значение целевой ячейки, когда значение изменяемой ячейки равно ее нижнему или верхнему пределу.

Коэффициент ЦФ умножается на значение переменной и получается целевой результат.

Так, если х₁ = 0, и х₂ и х₃ неизменные, то F= 210*0 + 180*191.25 = 34 425

при х₂ = 0 и неизменных х₁ и х₃ F =240*397,5 + 180 *191,25 = 129 825, т.е. максимальному значению.

при х₃ = 0 и неизменных х₁ и х₂ F=240*397,5 + 210*0 = 95 400.