Різні аналітичні методи задання регулярної кривої

Нехай -деякий інтервал, , - деяка крива, що задана на інтервалі , носій якої міститься в точеному евклідовому просторі . Введемо в цьому просторі декартову систему координат з базисом ,…, і координатами . Тоді з кривою однозначно пов’язана її вектор-функція . Розкладаючи цю вектор-функцію за базисом по координатним функціям, отримаємо:

систему рівнянь, що називається параметричним рівнянням .

Регулярність цієї кривої задається формулою:

(2)

Таким чином, умова регулярності n-го порядку задається диференціюванням функції з рівняння (1) до n-го порядку, а також з використанням умови (2).

Далі будемо розглядати криві у просторі . Якщо крива задана у просторі , то таку криву називаємо плоскою. У цьому випадку рівняння (1) запишеться у вигляді:

(1’)

А умова регулярності запишеться у в

( )

Для випадку плоскої кривої:

(1’’)

( )

Відмітимо, що рівняння ( ) і ( ) не є єдинним засобом задання кривої .

Наприклад, коло у просторі можна задавати як розв’язок системи рівнянь:

Але відмітимо, що така система не завжди задає криву у просторі, і більш того може мати пустий розв’язок.

Наприклад, такою є система:

Але має місце наступна теорема.

Теорема:

Нехай у просторі задана система рівнянь:

(3)

Припустимо, що координати відповідають деякій декартовій системі координат у просторі . Крім того, у т. ( ) виконується співвідношення:

(4)

де - частинні похідні функції за змінними у т. ( ). Тоді у деякому околі т. система (3) задає регулярну криву.

Доведення

За умовою (4) деякий визначник з матриці (4) не дорівнює нулю. Припустимо, що цей визначник розташований у верхньому лівому куті. Тоді, за теоремою про задання неявної функції системою функціональних рівнянь, у деякому околі т. змінні однозначно визначаються через змінну :

Позначимо = . Отримаємо параметричне рівняння регулярної кривої:

Оскільки = 1 , то ця крива регулярна.

Теорему доведено.

У випадку плоскої кривої ця крива може задаватися неявною функцією )=0. (5)

При цьому має місце наступна теорема.

Теорема

Припустимо, що змінні відповідають деякій ДСК на площині, при чому в деякій т. ( має місце співвідношення:

(6)

Тоді, у деякому околі т. рівняння (5) задає регулярну криву, тобто точки, координати яких задовольняють рівняння (5), утворюють на площині регулярну криву.

Доведення

Згідно з умовою (6) хоча б одна частинна похідна функції ) не дорівнює нулю в т. . Припустимо, що . Тоді, згідно теореми про неявну функцію в деякому околі т. , змінна однозначно визначається змінною . Покладаючи = отримаємо параметричне рівняння регулярної кривої:

Оскільки = 1 , то ця крива регулярна.

Теорему доведено.

Розглянемо деякі випадки не регулярних точок.

Припустимо, що крива задана параметричним рівнянням:

Тоді точка =0 є нерегулярною, оскільки частинні похідні по дорівнюють нулю в цій точці.

Така точка називається точкою повернення I-го роду.

Крім того, нерегулярною в т. =0 є крива, що задається параметричним рівнянням:

Така точка називається точкою повернення II-го роду.