Формули для обчислення скруту

1.Припустимо, що крива віднесена до натурального параметру вектор – функція має координати: = ( ). Тоді, згідно формули (6) = - .

2.Припустимо, що крива віднесена до довільного параметру , її вектор – функція має координати = ( ). Тоді, згідно формули (6) .

Формули Френе. Застосування формул Френе для вивчення кривої в досить малому околі її точки

З малюнку бачимо, що = - за означенням векторного добутку, тоді = + = {за формулою диференціювання, за формулами Френе} = + = {за 3 формулою Френе = - = } = - .

Таким чином, отримали рівність:

= - - - друга формула Френе.

Взагалі ми отримали 3 формули Френе:

1. 

Формули Френе виражають похідні вектор – функцій , і як лінійні комбінації цих же самих функцій. Використовуючи метод математичної індукції, тобто послідовно застосовуючи формули Френе, можна показати, що похідні будь – якого степеня вектор – функцій , і виражаються як лінійні комбінації цих же самих функцій.

Застосування формул Френе для вивчення кривої в досить малих околах її точки

Нехай - регулярна крива, що віднесена до натурального параметру , що відповідає значенню параметру . Введемо в т. М локальну декартову систему координат з базисом Френе і центром в т. М. вектор – функцію кривої будемо розглядати в цьому базисі.

Розкладемо цю функцію в ряд Тейлора в деякому околі точки М:

(S) + (S) + … (2)

, так як М( ) початок координат.

Застосовуючи формули (1), маємо:

(S) = ,

(S) =

= - (S) - .

Підставляючи отримані 3 вирази в формулу (2) і приводячи подібні при , , маємо:

(- ) (3)

Подальші доданки в дужках з’являються в результаті підстановки в формулу (2) виразів похідних вектор – функції ступеня більше, ніж три, через вектор – функції , , за допомогою формул Френе. Оскільки , - базисні вектори локальної декартової системи координат, то вирази в дужках формули (3) є координатами точок кривої , звідки маємо рівняння кривої:

= (4)

Відкидаючи у рівностях (4) доданки більшої степені малості відносно , отримаємо рівняння іншої кривої :

, коли

(5) :

Розглянемо проекції ( ):

1. Стична площина

2. Нормальна площина

3. Спрямна площина

Натуральне рівняння кривої

Теорема (натуральне рівняння кривої)

Нехай - неперервно – диференційовані числові функції, що задані на інтервалі , при чому з точністю до положення в просторі, крива, для якої - кривина, а - скрут.

Доведення

Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь відносно 3 – х вимірних вектор – функцій:

(1)

і введемо в простір праву трійку одиничних взаємно ортогональних векторів , які будемо розглядати, як початкову умову системи (1), при , тоді з теорії лінійних диференціальних рівнянь відомо, що існує єдинний розв’язок системи (1) , і . (2)

Покажемо, що отримані вектор – функції , і є взаємно ортогональними одиничними векторами, що утворюють праву трійку, тобто:

(3)

(4) ( , , ) = 1.

Оскільки , і - розв’язок системи (1), то для них виконуються формули Френе:

(5)

Про диференціюємо ліві частини рівностей (3), використовуючи при цьому формули Френе (5):

Цю систему з 6 рівнянь позначимо через (6).

(6) будемо розглядати як систему диференціальних рівнянь, для якої невідомими є скалярні добутки з лівих частин рівності (3). Скалярні добутки, знайдених нами вектор – функцій , і (з системи (1)), задовольняють системі (6), оскільки система (6) отримана за допомогою формул Френе, а для знайдених вектор – функцій , і ці формули виконуються. Але системі (6) також задовольняють і значення скалярних добутків з (3), що перевіряються безпосередньо підстановкою цих значень (0; 1) у системі (6).

При , ці розв’язки співпадають, бо - одиничні взаємно ортогональні вектори, що утворюють праву трійку (див. початкову умову (2)). А оскільки лінійна система диференціальних рівнянь при заданій початковій умові має лише єдиний розв’язок, то ці розв’язки співпадають, тобто рівності (3) виконуються для . Таким чином, , - одиничні взаємно ортогональні вектори. Звідки випливає:

( , ) =

А оскільки ( ) =1 і мішаний добуток неперервна функція, то ( , ) = , для .

Введемо вектор – функцію шуканої кривої:

= (7).

Покажемо, що для такої вектор – функції параметр є натуральним. За формулою довжини шляху по кривій:

Довжина шляху з зміною значення параметра, тому параметризація є натуральною. Таким чином, знайдена вектор – функція і крива відповідає, віднесена до натурального параметру.

Покажемо тепер, що – кривина кривої – скрут кривої .

( ) - скрут кривої .

Оскільки параметризація натуральна, то | | = {згідно означення } = | | =

( ) = = - ( , ) = { } = ( , ) = {( , ) = 1} = .

Припустимо, що одна регулярна крива, що віднесена до натурального параметру, для якої та кривина та скрут відповідно.

Нехай - відповідно одиничні вектори дотичної, головної нормалі, бінормалі. Рухаючи криву у просторі, віднесемо точку цієї кривої, що відповідає параметру у точку кривої , для якої , крім того, рухаючи криву , можна добитися того, що:

(8)

Бо - дві праві трійки одиничних взаємно ортогональних векторів.

Оскільки крива - регулярна, то для вектор – функцій виконуються формули Френе, тому ці вектор – функції є розв’язком системи (1), але розв’язком цієї системи є вектор – функції , співпадають (див.(8)). Згідно з єдністю розв’язку системи лінійних диференціальних рівнянь з єдиною початковою умовою, ці розв’язки співпадають, тому ці вектор – функції співпадають для з цього випливає, що .

Означення

З доведеної теореми випливає, що регулярна крива однозначно (з точністю до положення в просторі) визначається своїми кривиною і скрутом, тому називається натуральним рівнянням регулярної кривої.