Формули для обчислення кривини
1.
Припустимо, що вектор – функція
регулярної
кривої
віднесена до натурального параметру і
її параметричне рівняння має вигляд:
Тоді
.
За теоремою 1:
=
= 
.
У випадку плоскої кривої це рівняння прийме вигляд:
= 
2. Розглянемо випадок довільної параметризації регулярної кривої з вектор – функцією , її параметричне рівняння:
’(
)
= (
),
’’(
)
= (
).
Тоді згідно останньому твердженню:
= 
.
У випадку плоскої кривої формула має вигляд:
= 
.
Якщо
плоско крива задана явним рівнянням
ця
формула матиме вигляд:
’(
)
= (1, 
).
’’(
)
= (0, 
).
= 
= 
.
Довжина шляху по кривій, як натуральний параметр
Нехай - регулярна крива, що задана на інтервалі , .
Відмітимо,
що у загальному випадку 
задає
довжину по кривій
від точки
до точки 
,
яка в загальному випадку може не
співпадати з довжиною дуги, обмеженою
цими точками.
Наприклад, коло, що задане параметричним рівнянням:
,
.
Але у випадку простої дуги, довжина дуги і довжина шляху по ній співпадають.
Таким чином, для будь – якої точки кривої в достатньо малому околі її параметризації, поняття довжини дуги і довжини шляху співпадають.
Зафіксуємо
деяку точку 
(зазвичай 
).
Побудуємо функцію 
наступним
чином:
Функція
є монотонно зростаючою, оскільки 
тоді
з курсу математичного аналізу відомо,
що функція
має обернену функцію
=
(
),
при чому похідна 
=
= 
.
Таким
чином, можна здійснити перехід до
параметру
:
= 
,
і прийняти довжину шляху по кривій за
параметр. Оскільки в достатньо малому
околі точки параметризації кривої цей
параметр співпадає з довжиною дуги
кривої, то всі отримані раніше результати
для параметру
є вірними і для параметру
.
Далі будемо позначати 
=
.
За геометричним змістом вони різні, але
в достатньо малому околі вони однакові.
Скрут кривої (Кручение кривой)
Нехай - регулярна крива, . Віднесемо цю регулярну криву до натурального параметру, при достатньо малих околах точок ми можемо вважати, що цей параметр - довжина дуги кривої.
-
стична площина кривої в точці 
,
+
)
– стична площина кривої в точці 
+
.
Нехай
– кут між цими двома площинами. Оскільки
(S)
– вектор нормалі площини
,
(
+
)
– вектор бінормалі, то
= 
.
Означення
– кут між стичними двома площинами,
який дорівнює куту між її нормальними
векторами, тобто кут між векторами
(S)
і
(
+
).
За
означенням вектор
(S)
– це одиничний вектор нормалі до стичної
площини, де
(S)
= 
,
де 
одиничний направляючий вектор дотичної,
що лежить у стичній площині; 
= 
який також лежить у стичній площині,
тому
(S)
=
і кут між стичними площинами при зміні
параметру 
дорівнює куту між векторами
(S)
і
(
+
).
Таким чином, = .
Означення
Скрут
– це |
.
Скрут за модулем також дійсна функція(також як і кривина) і визначається вона:
.
Теорема
Нехай
-
регулярна крива, що віднесена до
натурального параметру,
,
- одиничний вектор нормалі,
= 
,
(S)
= 
= |
|.
З
одимо
довжину різниці |
(
+
)
-
(S)|
= 
= 
= 
.
Маємо:
|
(
+
)
–
(S)|
= 
Ліву і праву частину поділимо на , отримаємо:
= 
.
Перейдемо
до границі, коли 
.
Оскільки функція
(S)
– неперервна, то 
.
Отримаємо рівність:
= 
.
Звідси маємо:
|
|
= 
.
За неперервністю модуля маємо:
|
|
= 
= 
Теорему доведено.
Теорема
У кожній точці кривої скрут тоді і тільки тоді дорівнює нулю, коли ця крива є плоскою кривою.
Доведення
Припустимо,
що крива
є плоскою, тобто вона лежить на деякій
площині
,
яка і є стичною площиною до кривої
.
На цій площині лежать вектори 
,
тому одиничний вектор нормалі буде
незмінний:
(S) = = = const.
Звідки випливає, що (S) = 0, і за попередньою теоремою отримаємо: | | = 0.
Припустимо тепер, що скрут за модулем дорівнює 0: | | = 0 в усіх точках кривої. Тоді за попередньою теоремою: | | = 0, звідки випливає, що = 0, а тому (S) = = const.
За означенням вектора (S) маємо, що = = const.
За означенням векторного добутку маємо:
= const
(
)
= 0, а
= 
(
)
= 0
(
)
= c
= const.
Завжди можна підібрати такий вектор :
(
)
= c,
тому існує
:
(
)
= c
= const,
тобто (
)
- (
)
= 0. А це і є векторно – параметричне
рівняння площини, до якої вектор
є ортогональним, і яка проходить через
кінець вектора
.
Теорему доведено.
Твердження 1
Нехай
-
регулярна крива, що віднесена до
натурального параметру
,
(S)
= 
одиничний
вектор бінормалі кривої в точці, що
відповідає значенню параметра
,
де
- одиничний вектор дотичної,
- одиничний вектор головної нормалі.
Тоді:
=
,
.
Доведення
1).
= 
= {за
формулою похідної векторного добутку}
= 
+
= {за
першою формулою Френе}
= 
+
,
де
= 0, оскільки множники колінеарні.
Таким чином, = .
2).Згідно
рівності 1) і означенню векторного
добутку (*)
,
а згідно означенню
(S),
|
(S)|
= 1,
для будь – яких S.
(**)
(S)
(дивись властивості похідної).
З
(*) і (**) і з малюнку випливає, що
,
оскільки 
є ортогональними до площини, що
визначається векторами
і
(S).
Оскільки
за означенням |
|
= |
|
і |
|
= 1, то |
= |
|
(1)
Таким
чином, (2)
= 
Тепер ми можемо означити скрут зі знаком наступним чином:
= (
).
(3)
Рівняння
(3) еквівалентне рівнянню (2), тобто
має знак « - », 
,
і має знак « + », 
.
Звідси випливає, що
(4)
= 
згідно рівностям (2).
Формула (4) має назву третьої формули Френе.
Твердження 1 доведено.
Твердження 2
Нехай
-
регулярна крива, що віднесена до
натурального параметра
,
тоді
= 
(5)
- кривина.
Доведення
Підставимо в формулу (3) вираз для , отриманий в твердженні 1 отримаємо:
)
= -
(*).
Згідно
означення
,
згідно першої формули Френе:
= 
= 
.
Диференціюємо останню рівність по :
+ 
= 
+ 
.
Підставляючи останні отримані три рівності у рівність (*), маємо:
= - (
)
- 
)
={
)
= 0} = - (
)
=
.
Твердження 2 доведено.
Твердження 3
Нехай
-
регулярна крива, що віднесена до
натурального параметру
,
(
)
– функція, що приводить криву до
натурального параметру, тоді 
= = 
(6).
Доведення
Згідно лемі попереднього параграфу:
= (*).
Згідно твердженню попереднього параграфу:
= ,
.
Знайдемо
вираз для 
:
= 
= =
(див.
довжина дуга, як натуральний параметр).
= 
+ 
,
= 
= 
+
(
)
(***),
де
(
)
– вектор, який компланарний векторам
,
.
Підставляючи рівності (*), (**), (***) у рівність (5), отримаємо:
= 
(
))
= - 
= {
(
)
}
= 
= - 
.