Рівняння стичної площини

Припустимо, що крива задана параметричним рівнянням:

.

Знайдемо рівняння стичної площини до кривої у т. Р, що відповідає значенню параметра .

( ), ( ).

З курсу аналітичної геометрії відомо, що у випадку рівняння площини проходить через т. Р, яка паралельна , можна записати у вигляді:

= 0

Розкриваючи цей визначник, отримаємо загальне рівняння стичної площини.

Довжина дуги кривої

Означення

Простою дугою кривої називається гомеоморфний образ відрізка у пр.. (або для плоскої кривої).

Проста дуга кривої – це відрізок , зігнутий деяким чином (але без самоперетинань) і розміщений у пр. або .

Згідно означення кривої в диференціальній геометрії кожна точка кривої має окіл, замикання якого є проста дуга кривої.

Нехай - регулярна крива, що задана на інтервалі , .

Нехай , такий що ( ) – проста дуга кривої , тобто на відображення є гомеоморфним.

Розіб’ємо деяким чином відрізок на менші відрізки. Нехай ; - називається діаметром цього розбиття.

Сформуємо наступну суму : = (1).

Таким чином (1) – це довжина ломаної лінії , яку утворюють відрізки, що з’єднують точки і , .

Означення

Границя: (2), називається довжиною простої дуги ( ), кривої .

Якщо границя (2) існує і не залежить від способів розбиття відрізку , то кажуть, що дуга ( ) є спрямною.

Означення

Якщо кожна проста дуга ( ) кривої є спрямною, то кажуть, що крива є спрямною.

Теорема:

Нехай - регулярна крива, що задана на інтервалі , .

Тоді крива є спрямною, при чому, якщо і ( ) є простою дугою кривої , то довжина цієї дуги ( ) обчислюється за формулою:

(3)

Доведення

Разом з сумою (1) для того ж самого розбиття розглянемо наступну інтегральну суму Рімана:

( ) = , (4)

де = , .

Згідно теорії інтеграла Рімана

( ) = (5)

Нам треба довести, що (3) = (2), тобто нам достатньо довести, що

= 0.

Дійсно, = =

= .

Згідно (5) друга границя дорівнює нулю. Таким чином нам достатньо довести, що = 0.

Дійсно, = = = .

Таким чином достатньо показати, що ця границя дорівнює нулю, коли .

Оскільки функція є неперервною, то функція також є неперервною.

Оскільки ця функція є числовою, то з курсу математичного аналізу відомо, що вона є рівномірно неперервна на , тобто , що якщо відстань між змінними менше , тобто , то відстань між значеннями функцій

Тому для , що якщо потраплять в один відрізок , довжина якого не перевищує , то має місце нерівність:

.

Таким чином, має місце нерівність:

якщо дане розбиття не перевищує , яке можна вибрати для = = , так як довільним додатнім числом, то границя = 0.

Теорема доведена.

Формули для обчислення довжини дуги кривої

Припустимо, що крива задана параметричним рівнянням:

тоді = ( ) і згідно доведеної вище теореми на відрізку зміни параметра, довжина дуги цієї кривої обчислюється за формулою:

.

Для випадку плоскої кривої ця формула приймає вигляд:

.

Якщо плоска крива задається явною функцією , то в якості виступає і формула запишеться:

.