Нормаль та нормальна площина
Нехай
регулярна крива в 
,
- її вектор-функція, Р – її точка,
-
її дотична в т. Р (за попередньою теоремою
вона завжди існує ).
Означення
Будь-яка пряма n, що проходить через т. Р і перпендикулярна називається нормаллю кривої у т. Р.
Очевидно, що будь-яка регулярна просторова крива у кожній своїй точці має нескінченну кількість нормалей, а регулярна плоска крива у кожній своїй точці має єдину нормаль.
Означення
Припустимо, що - просторова крива площина, що проходить через т. Р і ортогональна дотичній у цій точці називається нормальною площиною.
З означення нормальної площини випливає, що направляючий вектор дотичної є вектором нормалі відповідної нормальної площини.
Рівняння нормальної площини та нормалі
Припустимо, що крива задана параметричним рівнянням:
Точка
Р відповідає значенню параметра 
.
Як
зазначалось вище вектор (
)
– направляючий
вектор дотичної в т. Р, є вектором нормалі
нормальної площини. Тоді загальне
рівняння цієї площини має вигляд:
(
)=0.
(1)
Припустимо, що крива задана як розв’язок системи функціональних рівнянь:
І т. Р має координати ( ). Тоді за попередньою темою направляючий вектор в цій точці має координати:
;
Цей вектор є вектором нормалі нормальної площини у т. Р, тому рівняння цієї площини можна записати у вигляді:
(
)
+ 
+ 
= 0. (2)
Розглянемо тепер приклад регулярної плоскої кривої .
Припустимо,
що крива задана своїм параметричним
рівнянням:
P(
).
Направляючий
вектор дотичної в т. Р має координати :
,
тому до нього буде ортогональний вектор
з координатами : 
як направляючий вектор нормалі, і
параметричне рівняння нормалі в т. Р
має вигляд:
(3)
Припустимо,
що крива задана неявною функцією: 
.
Знайдемо її нормаль у т. Р(
).
За попередньою темою направляючий
вектор дотичної в цій точці має вигляд
:
(
- 
,
тому (
)
є направляючим вектором нормалі в т. Р,
і її канонічне рівняння має вигляд :
.
(4)
Стична площина регулярної кривої
Нехай
- регулярна просторова крива,
,
Р – точка кривої, що відповідає значенню
параметра
,
Q
- точка, що відповідає значенню параметра
.
З т. Q
опустили на площину 
.
= 
= h.
Нехай
- деяка площина, що проходить через т.
Р, 
- її одиничний вектор. Нормалі опустимо
PQD
з
т.Q
на
площину
.
Означення
Площина
називається стичною площиною кривої
у т. Р, якщо 
= 0.
Теорема
Нехай
– регулярна крива класу регулярності
щонайменше 2 (має неперервну 2-гу похідну),
,
тоді у кожній своїй точці крива
має стичну площину, що є паралельною
векторам 
(t),
(t),
при чому:
1)
Якщо
(t)
(t),
то стична площина в даній точці єдина.
2)
Якщо
(t)
(t),
то стичною площиною буде будь – яка
площина, що містить дотичну у відповідній
точці.
Доведення
Очевидно
З
трикутника 
знаходимо, що 
.
Звідси маємо:
= (
)
=
=
= 
(
)
(
)
(*)
Крім
того, 
= 
= 
= 
(**)
З (*) і (**) отримаємо співвідношення (***):
Оскільки
функція скалярний добуток є неперервною,
то знак границі можна вносити під знак
скалярного добутку, а оскільки
=
0 і
= 0, то з (***) маємо:
= 
= 
= 
Оскільки модуль – функція неперервна,
=
.
Таким
чином, 
(1).
Припустимо,
що 
тичною
площиною. Тоді за означенням стичної
площини (1) = 0, але 
= 
,
і якщо б 
0, то (1) =
,
а у нас (1) = 0, тому 
0.
У
цьому випадку (1) = 
= 0, тому 
Таким
чином, 
А
оскільки, 
ння
означають, що вектори 
є паралельними до стичної площини, з
іншого боку, якщо в якості площини
взяти площину, що проходить через т. Р,
яка паралельна векторам
,
то будуть виконуватись рівності:
де
- одиничний вектор нормалі площини
= 0 і за означенням стичної площини
- стична площина.
Якщо
,
то ця стична площина
визначається однозначно.
Якщо
,
то стичною площиною у т. Р буде будь –
яка площина, що проходить через дотичну
кривої в т. Р.
Будь – яка площина, що проходить через дотичну дорівнює (1).