Розділ II Аналітична і диференціальна геометрія Блок № 1

1.

Прямі і

a

b

c

d

c

а) паралельні;

b) співпадають;

c) мимобіжні;

d) перетинаються.

2.

Пряма і площина 2х-у-4z-24=0

a

b

c

d

d

а) паралельні;

b) перпендикулярні;

c) перетинаються;

d) пряма лежить в площині.

3.

Ортогональною проекцією точки А(1,2,-3) на площину 6х-у+3z-41=0 є точка:

a

b

c

d

b

а) А₁(0,-5,12);

b) А₂(7,1,0);

c) А₃(-1,0,4);

d) А₄(1,6,41/3).

4.

Площина 2х+у+z+8=0 утворює з прямою кут:

a

b

c

d

c

а) π/2;

b) π/6;

c) π/3;

d) π/4.

5.

Відстань від точки М(1,2,5) до прямої дорівнює:

a

b

c

d

a

а) ;

b) 5;

c) ;

d) 6.

6.

Рівняння площини, яка проходить через точку А(2,0,3) і паралельна векторам ={1,0,1}, ={2,1,3} має вигляд:

a

b

c

d

d

а) у+z-3=0;

b) 3x-y+2z-12=0;

c) x+y-3z+7=0;

d) x+y-z+1=0.

7.

Відстань між директрисами еліпса дорівнює:

a

b

c

d

b

а) 25;

b) 30;

c) 35;

d) 40.

8.

Фокальні радіуси точки М₁(3,- ), яка належить еліпсу дорівнюють:

a

b

c

d

c

а) 5 і 9;

b) 3 і 6;

c) 4 і 8;

d) 6 і 12.

9.

Визначити кут між асимптотами гіперболи, у якої ексцентриситет дорівнює 2/ _.

a

b

c

d

d

а) 80˚;

b) 90˚;

c) 120˚;

d) 60˚.

10.

Відстань від фокуса гіперболи до асимптоти дорівнює:

a

b

c

d

a

а) 6;

b) 10;

c) 4;

d) 20.

11.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом к = -3, яка дотикається параболи у²=6х має вигляд:

a

b

c

d

c

а) 3х+у-5=0;

b) 6х+2у+7=0;

c) 6х+2у+1=0;

d) 12х+4у-11=0.

12.

Фокальний радіус точки М₁(7,у₁) параболи у²=20х дорівнює:

a

b

c

d

b

а) 14;

b) 12;

c) 8;

d) 16.

13.

Рівняння директрис еліпса мають вигляд:

a

b

c

d

b

а) ;

b)

С)

d)

14.

Рівняння асимптот гіперболи мають вигляд:

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

15.

Рівняння директриси параболи у²=8х має вигляд:

a

b

c

d

а

а) ;

b)

С)

d)

Блок № 2

1.

Рівняння поверхні, утвореної при обертанні параболи навколо осі Ох, має вигляд:

a

b

c

d

d

а) x²+y²-z²=0;

b) x²+ z²= y²;

c) x²+z²=y;

d) y²+z²=x.

2.

Рівняння поверхні, утвореної при обертанні гіперболи навколо осі Оу, має вигляд:

a

b

c

d

a

а) x²-y²+z²=2;

b) x²+y²-z²=0;

c) -x²+y²+z²=0;

d) 2x²-y²+z²=0.

3.

Яку поверхню визначає рівняння х²+λ(у²+z²)=λ при λ<0 ?

a

b

c

d

d

а) коловий конус;

b) сфера;

c) двопорожнинний гіперболоїд;

d) однопорожнинний гіперболоїд.

4.

Яку поверхню визначає рівняння х²+λу²=λz при λ>0 ?

a

b

c

d

b

а) конус;

b) еліптичний параболоїд;

c) циліндр;

d) параболоїд обертання.

5.

Яку лінію визначає рівняння х² + у²+2х=0?

a

b

c

d

b

а) еліпс;

b) коло

c) парабола

d) гіпербола

6.

Для кривої, яка задана рівнянням , формули Френе мають наступний вигляд:

a

b

c

d

b

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

7.

Просторова крива задана рівнянням . Для векторів , , тригранника Френе знайти

a

b

c

d

a

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

8.

Просторова крива задана рівнянням . Для векторів , , тригранника Френе знайти

a

b

c

d

b

а)

b)

c)

d)

9.

Просторова крива задана рівнянням . Для векторів , , тригранника Френе знайти  

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) -

d)

10.

Геометричний зміст першої квадратичної форми поверхні:

a

b

c

d

d

а) довжина дуги кривої на поверхні;

b) квадрати довжини дуги кривої на поверхні;

c) диференціал дуги кривої на поверхні;

d) квадрат диференціала дуги кривої на поверхні.

11.

Ознака ортогональної координатної сітки на поверхні ( – коефіцієнти першої квадратичної форми):

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) ;

d)

12.

Коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні, яка задана рівнянням , визначаються за формулами:

a

b

c

d

a

а) ; ; ;

b) ; ; ;

c) ; ; ;

d) ; ; .

13.

Яка з поданих матриць може бути матрицею коефіцієнтів першої квадратичної форми поверхні ?

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

14.

На поверхні з першою квадратичною формою ds² = du² + sh²u dv² знайти довжину дуги лінії u = v між точками А (u =0, v = 0) і В (u = 1, v =1).

a

b

c

d

a

а) sh1;

b) сh1;

c) sh²1;

d) 1/2.

15.

Косинус кута між лініями v = 2u i v = –2u на поверхні, яка має наступну першу квадратичну форму ds² = du² + dv², дорівнює:

a

b

c

d

c

а) cos = –1/2;

b) cos = 3/5;

c) cos = – 3/5;

d) cos = 4/5 .

Блок № 3

1.

На прямому гелікоїді x = u cosv, y = u sinv, z = av кут між координатними лініями дорівнює :

a

b

c

d

b

а) /3;

b) /2;

c) 3/4;

d) /6.

2.

Коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні, яка задана рівнянням , мають вигляд:

a

b

c

d

b

а) ; ; ;

b) ; ; ;

c) ; ; ;

d) ; ; .

3.

Якщо коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні дорівнюють нулю у кожній її точці, то ця поверхня є :

a

b

c

d

d

а) сфера;

b) кругової циліндр;

c) круговий конус;

d) площина.

4.

Головні кривини k₁, k₂ у точці М(1,1,1) поверхні z = xy дорівнюють:

a

b

c

d

a

а) k₁= ;

b) k₂ = – ;

c) k₁=1/3, k₂= – 1/3;

d) k₁=2/3, k₂= – 1/2.

5.

Нормальна кривина k_n параболоїда z = ax²  + by² (a>0, b>0) у точці Р (0,0,0) в напрямі dx/dy =1/2 дорівнює:

a

b

c

d

b

а) k_n = 2(a–b)/5;

b) k_{n =} 2(4a–b)/5;

c) k_{n =} 2a–5b;

d) k_n = 2(a–b).

6.

Середня Н і гауссова (повна) К кривини поверхні z = axy в її точці М (0,0,0) дорівнюють:

a

b

c

d

d

а) Н =К=а;

b) Н = –а, К = 0;

c) Н= а² , К = –а;

d) Н =0, К = –а²

7.

У омбілічній (сферичній) точці поверхні средня Н та гауссова (повна) К кривини поверхні пов`язані співвідношенням

a

b

c

d

c

а) К= – Н;

b) К = 2Н;

c) К = Н²

d) Н = К².

8.

Визначити тип точці М ( 0, 1, b² ) поверхні z= a²x⁴ + b²y⁴ .

a

b

c

d

b

а) еліптична;

b) параболічна;

c) гіперболічна;

г) сферична.

9.

Кривина k_n нормального перерізу можна знайти за формулою Ейлера

a

b

c

d

b

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

10.

Знайти головні напрями поверхні z = x² + 9y² у точці М (0,0,0)

a

b

c

d

a

а) dx = dy = 0;

b) dx/dy = 2;

c) dx/dy =1/2;

d) dx/dy =2/3.

11.

Яка з наступних топологій, заданих на множині дійсних чисел є найсильнішою?

a

b

c

d

b

а) топологія скінченних доповнень;

b) топологія, що індукована метрикою ;

c) тривіальна топологія;

d) топологія, що складається з пустої множини , множини , та усіх інтервалів вигляду , де .

12.

Яка з підмножин топології , що задана на множині , складає базу топології ?

a

b

c

d

a

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

13.

Яка з наступних множин співпадає з замиканням множини , що міститься у просторі з топологія, що індукована метрикою ?

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) ;

d) .

14.

Яка з наступних топологій, уведених на множені дійсних чисел утворює компактний топологічний простір ?

a

b

c

d

a

а) топологія скінченних доповнень;

b) топологія, що індукована метрикою ;

c) дискретна топологія;

d) топологія, що складається з пустої множини , множини , та усіх інтервалів вигляду , де .

15.

Який з наступних топологічних підпросторів топологічного простору з топологією, що індукована метрикою , є гоміоморфним усьому простору ?

a

b

c

d

c

а) ;

b) ;

c) ;

d) .