4.4 Выявление связи между величинами

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость случайной величины Y от случайной или неслучайной величины X (или от нескольких величин).

Две случайные величины могут быть зависимыми, если они связаны либо функциональной зависимостью (значение Y однозначно вычисляется по значению X), либо статистической зависимостью, когда кроме физической зависимости обе величины или одна из них подвержены влиянию случайных факторов.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой. Самый простой случай – при изменении одной величины изменяется среднее значение (математическое ожидание) другой. В этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Например. Пусть Y – урожай зерна, X – количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т. е. Y не является функцией X. Это объясняется влиянием различных случайных факторов (осадки, уход, тип почвы и др.). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений, т. е. Y связан с X корреляционной зависимостью.

В терминах теории вероятностей при статистической зависимости X и Y как случайные величины задаются своим совместным распределением вероятностей (см. таблицу 1).

Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,Y) называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение.

То есть, зафиксировав значение одного из аргументов X=x_j (j сохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях Y) можно получить условное распределение по соотношениям:

,…, ,…, .

Аналогично находим условное распределение , , где j принимает значения от 1 до n. Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице.

По условным вероятностям можно сосчитать условные математические ожидания M(X/Y=y) и M(Y/X=x) и условные дисперсии D(X/Y=y) и D(Y/X=x). Они вычисляются по формулам:

.

Пример 32. Условие то же, что и у примера 29. Найти распределение оценок у студентов, сдавших первый экзамен на «отлично».

Решение. Распределение оценок у студентов, сдавших первый экзамен на отлично – это условная вероятность распределения величины Y при условии, что X=5.

По формуле , , .

Таким образом

, .

Из студентов, сдавших первый экзамен на «отлично», 73% сдали второй на 4, а 27% - на 5.

Функция регрессии. Условное математическое ожидания M(Y/X=x) есть функция от х:

M(Y/X=x)=f(x).

Эту функцию называют функцией регрессии Y на X., а её график называется линией регрессии. Аналогично определяется регрессия X на Y. Если случайные величины X и Y независимы, то линии регрессии Y по X и X по Y соответственно параллельны координатным осям 0x и 0y.

Пример 33. Условие то же, что и у примера 29. Найти средний балл, который получили на втором экзамене студенты, сдавшие первый экзамен на a) 2, b) 3, c) 4, d) 5.

Решение. Надо найти регрессию Y на X (средний балл на втором экзамене) M(Y/X=x) для значений х₁=2, x₂=3, x₃=4, x₄=5. Воспользуемся ранее рассчитанной таблицей распределения вероятностей и формулой :

,

,

,

.

Мы получили, что линия регрессии М(2)=2,68, М(3)=2,96, М(4)=3,77, М(5)=4,27 не параллельна оси X, следовательно, случайные величины X и Y не будут независимыми. Значит средний балл, который студенты получили на втором экзамене, не является независимой величиной, а зависит от того, какой средний балл они получили на первом экзамене.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если их совместная функция распределения F(x, y) представляется в виде произведения функций распределения F(x) и F(y):

F(x, y) = F(x)F(y).