5. Статистический анализ данных

5.1 Понятие вариационного ряда

Анализируемые данные могут быть заданы последовательностью полученных значений x₁, x₂,…, x_n, либо таблицей частот,

Значения xi	x1	x2	…	xn
Частоты mi	m1	m2	…	mn

либо таблицей относительных частот, т. е. таблицей эмпирического распределения выборки

Значения xi	x1	x2	…	xn
Относительные частоты

Формулы, по которым в зависимости от описания данных выборки вычисляются среднее значение и разброс выборки (дисперсия наблюдений) приведены в таблице

	Вариационный ряд задан последовательностью	Задана таблица частот вариационного ряда	Задана таблица относительных частот вариационного ряда
Среднее значение выборки
Дисперсия (разброс) выборки

Пример 35. Найти и по таблице выборки:

Варианты	2	6	12
mi	3	10	7	n=20

Решение.

;

5.2 Статистические оценки параметров распределения

В практике статистических исследований различают два вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности (перепись населения), и выборочное, когда изучается часть объектов (социологические исследования). Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) называется генеральной совокупностью. Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборкой.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Пусть x₁, x₂, …, x_n – выборка, отвечающая случайной величине X с рядом распределения (для дискретной случайной величины X) или плотностью вероятности (для непрерывной случайной величины X), которая зависит от некоторого неизвестного параметра . Таким параметром может быть генеральная средняя т. е. математическое ожидание M(X), или генеральная дисперсия, т. е. дисперсия D(X). Требуется оценить параметр .

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию (X₁,X₂,…,X_n) от наблюдаемых случайных величин X₁, X₂, …, X_n.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где x₁, x₂, …, x_n – результаты n наблюдений над количественным признаком X (выборка).

Для того чтобы хорошо аппроксимировать , оценка в соответствии с требованиями математической статистики должна удовлетворять ряду критериев, основными из которых являются требования состоятельности и несмещенности.

Оценка называется состоятельной оценкой параметра , если

т. е. при любом .

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки:

Это означает, что отклонение от не содержит систематической ошибки.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

,

где x_i – варианта выборки, m_i – частота варианты x_i, - объем выборки.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия

.

Можно показать, что выборочная средняя и исправленная выборочная дисперсия являются несмещенными состоятельными оценками .

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Оценкой генеральной дисперсии может служить и выборочная дисперсия

.

В отличие от исправленной выборочной дисперсии, эта оценка является смещенной состоятельной оценкой и связана с соотношением

.

Пример 36. По статистическому распределению выборки из примера 35 найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя

;

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

.

5.3. Метод максимального правдоподобия

Одним из методов, получения оценок параметров генеральной совокупности по данным выборки, является метод максимального правдоподобия, предложенный Р. Фишером.

Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая вероятность совместного появления результатов выборки x₁, x₂, …, x_n (для дискретной случайной величины X)

,

или плотность вероятности совместного появления результатов выборки x₁, x₂, …, x_n (для непрерывной случайной величины X)

.

Согласно методу максимального правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра принимается такое значение , которое максимизирует функцию L. Нахождение оценки упрощается, если максимизировать не саму функцию L, а , поскольку максимум обеих функций достигается при одном и том же значении . Поэтому для отыскания оценки параметра надо решить уравнение правдоподобия

. Затем найти вторую производную ; если вторая производная при отрицательна, то - точка максимума. Найденную точку максимума принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра .

Если плотность вероятности f(x) непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов и :

.

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания её максимума составляют и решают систему

Пример 37. Найти методом максимального правдоподобия по выборке x₁, x₂, …, x_n точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения, плотность которого

Решение. Запишем функцию правдоподобия

и учитывая, что , получим

или после логарифмирования:

.

Найдем первую производную по :

.