Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция: .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox и кривой распределения, равна единице.

Теорема. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x₁, x₂] равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от x₁ до x₂:

.

3.4. Числовые характеристики случайных величин

Часто, полное описание распределения вероятностей при помощи плотности или функции распределения заменяют заданием небольшого числа числовых характеристик. Они указывают, как правило, наиболее типичные (в том или ином отношении) значения случайной величины и степень рассеяния значений случайной величины около некоторого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (рассеяние), а также начальные и центральные моменты.

Определение математического ожидания и дисперсии

	Дискретная величина	Непрерывная величина
Математическое ожидание
Дисперсия

Где x_i – значение дискретной случайной величины X, p_i – соответствующая значению x_i вероятность, f(x) – плотность распределения непрерывной случайной величины X.

Свойства математического ожидания и дисперсии

	Математическое ожидание	Дисперсия	Среднеквадратическ. отклонение
Случайная величина - константа
Случайная величина умножается на константу
Случайные величины складываются		(для независимых величин)	(для независимых величин)

Кроме математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется ещё ряд числовых характеристик.

Модой Мо(X) случайной величины X называется её наиболее вероятное значение (для которого вероятность p_i или плотность вероятности достигает максимума).

Медианой Ме(X) непрерывной случайной величины X называется такое её значение, для которого

.

Геометрически это означает, что вертикальная прямая x=Me(X) делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке x=Me(X) функция распределения равна 0,5.

Определение начальных и центральных моментов

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk	Дискретная СВ Непрерывная СВ
Начальный момент первого порядка		Равен математическому ожиданию СВ X
Начальный момент второго порядка
Начальный момент третьего порядка
Начальный момент четвёртого порядка

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины [X-M(X)]k	Дискретная СВ Непрерывная СВ
Центральный момент первого порядка
Центральный момент второго порядка		Равен дисперсии СВ X. Характеризует степень рассеяния значений X относительно M(X)
Центральный момент третьего порядка		- коэффициент асимметрии распределения
Центральный момент четвёртого порядка		- эксцесс. Характеризует островершинность (Е>0) или плосковершинность (Е<0) распределения

Пример 21. Случайная величина X задана законом распределения:

X	0	1	2	3	4
p

Найти математическое ожидание, центральные моменты первого, второго, третьего порядков.

Решение. Вычислим математическое ожидание СВ X:

.

Для вычисления центральных моментов, предварительно найдем начальные моменты:

; ;

.

Найдем центральные моменты:

; - дисперсия;

.

Пример 22. Дана функция распределения случайной величины X:

.

1. Найти плотность вероятности ;

2. Построить графики функций и ;

3. Найти вероятности , , ;

4. Вычислить математическое ожидание , дисперсию , моду , медиану .

Решение. a. Плотность вероятности найдём по определению

.

b. Построим графики функций и ;

f(x)

1

0,5

P(X<1)

0 1 2 x

F(x)

1

0,5

P(X<1)

0 1 2 x

c. как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. можно найти либо по определению функции распределения:

(см. график функции F(x)),

либо через плотность вероятности:

(площадь под кривой распределения f(x) на отрезке [0;1]).

можно найти либо как приращение функции распределения: ,

либо через плотность вероятности

.

d. .

.

По графику видно, что плотность вероятности достигает максимального значения при x=2, следовательно .

Медиану найдем либо из условия , т. е. , откуда , либо через плотность вероятности , т. е. , получаем .