В противном случае случайные величины X и y называются зависимыми. Из этой формулы следует, что для дискретных величин

P(X=x_j, Y=y_i)=P(X=x_j)P(Y=y_i),

а для непрерывных величин

f(x, y)= f(x)f(y).

Для удобства анализа зависимости между двумя случайными величинами вместо исследования линий регрессии рассматривается значение ковариации случайных величин или их коэффициент корреляции.

Ковариация (корреляционный момент) двух случайных величин определяется как математическое ожидания их произведения минус произведение их математических ожиданий:

K_xy=M[(X-M(X))(Y-M(Y))]=M(XY)-M(X)M(Y).

Для дискретных величин используют формулу

Для непрерывных величин используют формулу

.

Ковариация – величина размерная (равная произведению размерностей величин X и Y), поэтому вместо неё обычно рассматривают безразмерную величину - коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению среднеквадратических отклонений этих величин:

.

Свойства коэффициента корреляции

1. 

2. Если коэффициент корреляции случайных величин X и Y равен нулю, то такие величины называются некоррелированными. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из того, что , еще не следует независимость случайных величин. Тем не менее в важном частном случае совместного нормального распределения величин X и Y некоррелированность и независимость являются равносильными понятиями (далее этот случай рассматривается более подробно).

3. Если у двух случайных величин , то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость; причем если связь по возрастающей (большему значению X соответствует большее значение Y), то , а если связь по убывающей (большему значению X соответствует меньшее значение Y), то .

Пример 34. Условие то же, что и у примера 29. Определить коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Решение. Ранее мы получили M(X)=3,22, M(Y)=3,22, ,

Теперь рассчитаем K_xy и .

X-M(X) Y-M(Y)	2-3,22	3-3,22	4-3,22	5-3,22
2-3,32	0,07	0,12	0	0
3-3,22	0,15	0,23	0,05	0
4-3,22	0	0,10	0,17	0,08
5-3,22	0	0	0	0,03

Таким образом, величины X и Y – оценки, полученные на двух экзаменах нельзя считать независимыми. Об этом говорит и коэффициент корреляции и линия регрессии, полученная ранее.

4.5 Двумерное нормальное распределение

Случайная величина (X, Y) распределена по двумерному нормальному закону, если совместная плотность величин x и y имеет вид

.

Таким образом, двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: Параметры выражают математические ожидания величин X и Y, параметры - их среднеквадратические отклонения, - коэффициент корреляции случайных величин X и Y. Можно показать, что условные математические ожидания и дисперсии, сосчитанные по этому закону распределения, выражаются с помощью следующих формул:

,

,

,

.

Из этих формул вытекает, что линии регрессии нормально распределенных случайных величин представляют собой прямые линии.

Условные дисперсии постоянны и не зависят от значения второй случайной величины. Заметим, что из вида плотности двумерного нормального распределения следует, что если , то компоненты X и Y независимы. Действительно, в этом случае

,

где f(x) и f(y) – плотности вероятностей одномерных случайных величин X и Y. Уравнения регрессии обратятся в M_y(X)=a_x и M_x(Y)=a_y.

Линии регрессии при приобретут вид двух прямых, перпендикулярных координатным осям.

M_x(Y)=a_y

M_y(X)=a_x

С уменьшением ножницы становятся все шире, пока не обратятся в две линии, перпендикулярные осям координат.