2. Множества n, z, q. Необходимость введения иррациональных чисел

Из школьного курса математики хорошо знакомо понятие рационального числа и свойства рациональных чисел. Напомним, что рациональными, называются числа, представимые в виде дроби , где m  целое, n  натуральное числа.

Одно и то же рациональное число может быть представлено различным образом. Например, число можно представить в виде дробей с различным знаменателем: = = = … .

Для рациональных чисел важную роль играет правило сравнения:

два рациональных числа а =  и b =  считаются равными, если m₁ n₂ = m₂ n₁;

для двух неотрицательных рациональных чисел а =  и b =  выполняется неравенство < , если m₁ n₂ < m₂ n₁;

для двух отрицательных рациональных чисел а =  и b =  выполняется неравенство < , если > ;

любое положительное рациональное число больше любого отрицательного рационального числа.

Для рациональных чисел определены операции сложения и умножения рациональных чисел.

Иными словами существует правило, посредством которого двум рациональным числам a =  и b =  ставится в соответствие рациональное число с, называемое суммой этих чисел и обозначаемое следующим образом: c = a + b. Это правило определяется формулой

с =

и называется правилом сложения.

Существует правило, посредством которого двум рациональным числам a и b ставится в соответствие рациональное число с, которое называется их произведением и обозначается: с = а b.

Это правило определяется формулой: с = а b = и называется правилом умножения.

Перечислим основные свойства, которым подчинены эти правила.

Правило сравнения рациональных чисел обладает следующим свойством: если a  b и b  c, то а  с (свойство транзитивности сравниваемых чисел).

Свойства правила сложения рациональных чисел:

2) а + b = b + a (переместительное свойство);

3) (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательное свойство);

4) существует такое рациональное число 0, что для любых рациональных чисел справедливо равенство a + 0 = a;

5) для каждого рационального числа a, существует противоположенное ему число а’ , такое что а + а’ = 0.

Свойства правила умножения:

6) a  b = b  a (переместительное свойство);

7) (а  b)  c = a  (b  c) (сочетательное свойство);

8) существует такое рациональное число 1, что для любых рациональных чисел a, справедливо равенство a  1 = a;

9) для каждого рационального числа a, существует обратное ему число а ´, такое что a  a´ = 1;

10) (a + b)  c = a  c + b  c (распределительное свойство умножения относительно сложения);

11) если a > b, то а + с > b + c;

12) если a > b и c > 0, то a  c > b  c;

13) каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а.

Эти 13 свойств называются основными свойствами рациональных чисел или аксиомами множества рациональных чисел.

Замечание. Свойство 13 называется аксиомой Архимеда.

Все остальные свойства можно вывести из перечисленных свойств.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль)  сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел опять будет рациональным числом. Однако оказывается, что существуют алгебраические и геометрические задачи, которые не имеют решения в множестве рациональных чисел. Так задачей, часто не имеющей решения в множестве рациональных чисел, является извлечение корня из положительного целого числа.

Рассмотрим число . Докажем, что оно не является рациональным.

Предположим противное: существует такая рациональная дробь , где m и n – взаимно простые натуральные числа, что  =  . Возведем обе части данного равенства в квадрат, тогда = 2 или m² = 2n². Значит m  число четное: m = 2r (r  натуральное число). Тогда n² = 2r², следовательно, n  четное число. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Числа, которые нельзя представить в виде рациональной дроби называются иррациональными.

В математической практике иррациональные числа начинают появляться еще в средние века, но настоящими числами их не считали. Лишь в XVII веке постепенно начинает созревать идея о равноправии рациональных и иррациональных чисел. Под иррациональными стали понимать величины несоизмеримые с единицей. Развитие математического анализа в конце XVIII и в начале XIX веков сделало необходимым построение строгой теории иррациональных чисел на основе чисто арифметического их определения. Было создано несколько таких теорий. Мы изложим теорию иррациональных чисел следуя Дедекинду.