4. Представление действительных чисел десятичной дробью. Изображение действительных чисел на прямой

Рассмотрим такое действительное число , которое не является целым и не представимо в виде конечной десятичной дроби. Пусть число  определяется сечением АА. Тогда существуют такие целые числа с и с + 1, что с <  < c + 1. Число с может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Разделим отрезок [c, c + 1] на десять равных частей, получим отрезки: [c; c,1], [c,1; c,2], [c,2; c,3], … , [c,9; c + 1]. Длина отрезков разбиения равна . Тогда число  принадлежит одному из данных отрезков [c,с₁; c,с₁ +  ], и справедливо неравенство с,с₁ <  < c,с₁ + .

Делим выделенный отрезок на 10 частей длиной и получим

c,с₁с₂ <  < c,с₁с₂ + .

На n-ом этапе такого деления получим неравенство

c,c₁c₂ … c_n <  < c, c₁c₂ … c_n + . (1)

Продолжая этот процесс бесконечное число раз, мы построим целое число с и бесконечный ряд цифр c₁, c₂, …, c_n, … . Составленную из них бесконечную десятичную дробь, т.е. символ

c,c₁c₂ … c_n… (2)

можно рассматривать как представление действительного числа .

В случае, если  является целым или рациональным числом, представимым конечной десятичной дробью, то в какой-то момент число  совпадает с одним из концов промежутка [c,c₁c₂ … c_n; c,c₁c₂ … c_n + ], и тогда для  определены более общие чем (1) соотношения

c,c₁c₂ … c_n    c, c₁c₂ … c_n + . (3)

При этом, начиная с некоторого момента, слева или справа в (3) постоянно будет стоять знак равенства. В зависимости от того, где знак равенства будет стоять, последующие после цифры c_n цифры в дроби c,c₁c₂ … c_n… окажутся или все нулями, или все девятками. Поэтому в этом случае число  можно представить двумя способами: или с нулем или с девяткой в периоде.

Например, число 2, 718 можно представить следующим образом:

2,718 = 2,718000… или 2,718 = 2,717999…

Замечание 1. Десятичные дроби, стоящие в левой и в правой части неравенств (1) и (3), называются десятичными приближениями числа  по недостатку и по избытку. Разность между десятичными приближениями не превосходит . С возрастанием n, эта разность может стать меньшей любого рационального числа  > 0. Следовательно, по лемме 2 (см. п.2) не существует действительного числа  отличного от , которое удовлетворяло бы неравенствам (1) и (3).

Можно доказать так же, что если взять произвольную бесконечную дробь (2), то существует действительное число  которое представляется этой дробью.

Замечание 2. Из школьного курса математики известно, что любое рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью, и, наоборот, любая бесконечная периодическая дробь определяет рациональное число. Следовательно, иррациональные числа представимы непериодическими десятичными дробями.

Перейдем к изображению действительных чисел на прямой.

Рассмотрим прямую с выбранной на ней произвольной точкой О (началом отсчета). От точки О вправо отложим отрезок [O, E], длину которого примем за единицу.

Определение 4. Луч прямой, которому принадлежит отрезок OE, назовем положительной полупрямой. Дополнительный луч – отрицательной полупрямой.

Точке О поставим в соответствие целое число 0, точке Е – число 1.

Каждому натуральному числу n – точку N, лежащую на положительной полупрямой, такую что |O, N| = n |O, E|.

Каждому целому отрицательному числу n – точку , лежащую на отрицательной полуоси, такую что |O, N| = |O, | = n |O, E|.

Аналогично, чтобы изобразить рациональное число > 0, на положительной полуоси построим точку P такую, что длина отрезка |O, P| =   |O, E|. Для этого построим отрезок m|O, E|, а затем разделим этот отрезок на n равных частей. Если < 0, то точку P откладываем на отрицательной полуоси.

Остается указать способ сопоставления иррациональных чисел точкам прямой.

Рассмотрим для определенности положительное иррациональное число  > 0. Тогда числу  ставятся в соответствие десятичные приближения этого числа: по недостатку:

а₀ = с,

a₁ = с, с₁,

…

a_n = c, c₁c₂ … c_n,

и по избытку:

= с + 1,

= с, с₁ + ,

…

= c, c₁c₂ … c_n + ,

Построим бесконечное множество отрезков [a , ], [a , ] … [a ,  ], … . Эти отрезки будут вложены друг в друга, и длина произвольного отрезка [a , ], равна . Значит, для любого действительного числа  > 0, существует отрезок [a , ], длина которого < . Следовательно, по лемме 2 п.2, множество всех таких отрезков будет иметь только одну общую точку, соответствующую иррациональному числу .

Таким образом, любое действительное число можно изобразить точкой на числовой прямой. Причем из теоремы о полноте множества действительных чисел следует, что любой точке числовой прямой соответствует некоторое действительное число.