2. Сравнение действительных чисел

Рассмотрим, каким образом сравниваются действительные числа.

Определение 1. Два иррациональных числа  и , определяемые сечениями А | A и B | B, называются равными, если их нижние и верхние классы равны. (Достаточно потребовать А = В).

Это же определение можно ввести и для равенства рациональных чисел.

Установим понятие “больше” для действительных чисел. Для рациональных чисел понятие “ больше ” мы уже установили.

Определение 2. Иррациональное число , определяемое сечением А | A , больше рационального числа r, если r принадлежит нижнему классу А сечения А | A ; и число  меньше рационального числа r , если r принадлежит верхнему классу А сечения А | A.

Определение 3. Иррациональное число  (А | A) больше иррационального числа  (В | B), если А  В, А  В.

Понятие “ меньше ” вводится следующим образом: если  > , то говорят, что  < .

Из определений 1, 2, 3 следует, что для каждой пары действительных чисел  и  имеет место одно и только одно из соотношений

 = ,  > ,  < .

Кроме того, из неравенств  >  и  > , следует  > .

Лемма 1. Каковы бы ни были два действительных числа  и  ( > ), всегда найдется такое действительное число r, которое лежит между ними, т. е.  > r > .

Доказательство. Докажем, что можно найти даже рациональное число, удовлетворяющее данному неравенству.

Пусть  = A | A,  = B | B, причем  > . Тогда А  В и А  В, т. е. существует такое рациональное число r  A, которое не принадлежит классу B. Следовательно, r  B. Так как r  A, то r < . Так как r  B, то r >  . Тогда,  < r < . 

Лемма 2. Пусть даны два действительных числа  и . Если для любого рационального числа  > 0, числа  и  могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами s    S , s    S, такими, что S – s < , то  = .

Доказательство. Предположим, что   , например,  > . Тогда по лемме 1 между числами  и  можно вставить два таких рациональных числа и ( > ), что выполняется неравенство  < < < . Тогда для чисел S и s (S – s < ) выполняется неравенство s < < < S, следовательно, S  s >  . В случае  =  получаем противоречие с условием леммы, т.е. наше предположение неверно и  = .

3. Полнота множества действительных чисел

Рассматривая сечения в множестве рациональных чисел, мы установили, что существуют сечения, которые не имеют пограничного рационального числа, которое производило бы это сечение (т. е. числа, являющегося наименьшим для верхнего класса или наибольшим для нижнего). Именно наличие в множестве рациональных чисел пробелов (неполнота множества) и послужило основанием для введения новых чисел  иррациональных.

Рассмотрим сечение в множестве действительных чисел. Под сечением, также как и в множестве рациональных чисел, будем понимать разбиение множества действительных чисел на два непустых подмножества А и А, удовлетворяющих следующим свойствам:

1) любое действительное число попадает в одно и только одно множество А или А;

2) каждое число  множества А меньше каждого числа  множества А.

Множество А называется нижним классом сечения А|А, множество А  верхним классом данного сечения.

Возникает вопрос: “ Для всякого ли сечения найдется действительное число, производящее это сечение, или существует сечение, которое не имеет пограничных действительных чисел? ”. Иными словами, существуют ли в множестве действительных чисел пробелы, которые дали бы основание для введения новых чисел?

Теорема 1 (основная теорема Дедекинда).

Для всякого сечения А|А в множестве действительных чисел существует действительное число  , которое производит это сечение. Это число будет либо наибольшим в нижнем классе сечения А, либо наименьшим в верхнем классе А.

Доказательство. Обозначим через множество рациональных чисел, принадлежащих классу А, через А  множество рациональных чисел, принадлежащих классу А. Тогда множества А и А образуют сечение в множестве рациональных чисел, которое определяет некоторое действительное число . Число  должно попасть либо в класс А либо в класс А. Пусть   А. Докажем, что  является наибольшим в этом классе.

Доказательство будем проводить методом от противного: пусть  не является наибольшим в классе А, т.е. существует ₀  R и ₀ > . Тогда между числами ₀ и  найдется рациональное число r  А, а следовательно r   .

Мы получили, что существует рациональное число r, принадлежащее нижнему классу сечения | , производимого числом , такое что r > . Но это невозможно, так как число , производящее сечение | , больше всех рациональных чисел, принадлежащих классу , а следовательно  > r. Значит, наше предположение неверно и   наибольшее в классе А.

Аналогично можно доказать, что если   А, то   наименьшее в этом классе. 

Это свойство действительных чисел называется непрерывностью или полнотой множества действительных чисел.