5. Равномерная непрерывность функции

Рассмотрим функцию f(x) непрерывную на промежутке X. Следовательно, для любой точки x₀, по заданному  > 0, можно построить такое  > 0, что из неравенства |x – x₀| <  следует неравенство |f(x) – f(x₀)| < .

Причем  зависит от положения точки x₀ на промежутке X.

Иногда важно выяснить, можно ли по заданному  > 0 найти такое значение  > 0, не зависящее от положения точки x₀ на промежутке X, для которого из неравенства |x – x₀| <  следует неравенство |f(x) – f(x₀)| < .

Если такое  существует, то функция называется равномерно непрерывной на промежутке Х.

Определение 8. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на промежутке X, если для любого действительного числа  > 0, существует такое действительное число  > 0 (зависящее только от ), что для любых двух точек x и x из промежутка X, удовлетворяющих условию |x - x| <  выполняется неравенство |f(x) – f(x)| < .

Из непрерывности функции в каждой точке промежутка X еще не следует равномерной непрерывности функции в промежутке X.

Теорема 9 (теорема Кантора). Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на этом промежутке.

Определение 9. Колебанием функции f(x) на интервале X называется число  = M – m, где М – точная верхняя грань функции, m – точная нижняя грань функции.

Если функция непрерывна в замкнутом промежутке Х, то, как следует из второй теоремы Вейерштрасса, колебание функции есть разность между наибольшим и наименьшим значением функции f(x) на интервале Х.

Следствие из теоремы Кантора.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тогда для любого положительного числа  существует такое число  > 0, что на каждом отрезке [c, d]  [a, b], длина которого меньше , колебание  функции f(x) будет меньше .

IV. Производная функции

§4.1. Производная функции

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Мгновенная скорость. Пусть у = s (t) – закон движения материальной точки по координатной прямой. В момент времени t точка находится на расстоянии s (t) от начала отсчета, а в момент времени t + ∆t  на расстоянии s (t + ∆t). Тогда путь, пройденный точкой за время ∆t, равен  y = s (t + ∆t)  s (t). Средняя скорость материальной точки за время ∆t равна

v_ср = = . (1)

Мгновенной скоростью v материальной точки в момент времени t называется предел, к которому стремится средняя скорость при ∆t → 0. Следовательно,

v = . (2)

Касательная к кривой. Рассмотрим кривую К и на ней точку М_0. Возьмем произвольную точку М  К и рассмотрим прямую М₀М. Она называется секущей к кривой К, проведенной в точке М₀. Будем перемещать точку М таким образом, чтобы она приближалась к М₀, тогда положение секущей также будет меняться.

Определение 1. Касательной к кривой К проведенной в точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М, если М → М₀.

Рассмотрим кривую К  график непрерывной на некотором отрезке [a, b] функции y = f (x). Пусть точка М₀ (x₀, y₀)  К. Проведем касательную к графику данной функции в точке М₀ . Ее угловой коэффициент k = tg α. Рассмотрим произвольную точку М (x₀ + x, y₀ + ∆y)  К и проведем секущую М₀М. Ее угловой коэффициент k_сек = tg β (рисунок 1).

Проведем прямую MN параллельную оси ОУ и прямую М₀N параллельную оси ОХ. Треугольник NMМ₀  прямоугольный (NM = ∆y, NM₀ = ∆x,  NM₀M = β, tg  NM₀M = tg β).

Тогда tg β = = = .

Следовательно, k = tg α = tg β = , значит угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) в точке М₀ находится по формуле

k = . (2)

Две задачи из разных областей знания привели к рассмотрению одной и той же операции: нахождению предела отношения приращения функции к приращению аргумента функции, если приращение аргумента стремится к нулю.