5. Абсолютная величина (модуль) действительного числа
Определение
5.
Абсолютной
величиной
(модулем)
действительного числа
называется число ||
=
Например: |-2| = 2, |2| = 2 .
Перечислим свойства модуля действительного числа:
|| = ||,
если || , то ,
| + | || + ||,
| + | || ||,
|| - || | - | || + ||.
Докажем, например, свойство 3: | + | || + ||.
Так как || || и || ||, то (|| + ||) + || + ||, следовательно | + | || + ||. Но || + || = || + ||. Тогда | + | || + ||.
6. Границы числовых множеств
Определение 6. Множество, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.
Обозначим его X = {X}.
Определение 7. Если для множества {X} существует такое действительное число М, что для всех элементов х множества {X} выполняется неравенство х M, то будем говорить, что множество {X} ограничено сверху. Число М называется верхней границей множества {X}.
Например, множество правильных дробей X = { , где m, n N, m < n } ограничено сверху числом 1 или любым числом большим 1.
Определение 8. Множество {X} называется ограниченным снизу, если существует такое действительное число m, что всех элементов х множества {X} выполняется неравенство x m.
Если множество {X} неограничено сверху (снизу), то за его верхнюю (нижнюю) границу принимается знак ().
Пример. Множества точек отрезка [a, b], интервалов [a, b), (a, b], (a, b) ограничены сверху и снизу числами a и b. Множество точек полупрямой a x < ограничено снизу числом а. Множество точек прямой - < x < не ограничено ни снизу, ни сверху.
Определение 9. Наименьшая из всех верхних границ, ограниченного сверху множества, называется точной верхней границей.
Обозначается: М* = sup X = sup {X}.
Определение 10. Наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества называется точной нижней границей.
Обозначается: m* = inf X = inf {X}.
Можно дать также следующие определения точной нижней и точной верхней границы последовательности.
Определение 11. Число m называется точной нижней границей множества {X}, если:
для любого элемента x {X} выполняется неравенство x m.
для любого положительного числа > 0, существует такой элемент
множества {X},
для
которого выполняется неравенство
m.
Определение 12. Число М* называется точной верхней границей множества {X}, если:
для любого элемента x {X} выполняется неравенство x М.
для любого положительного числа > 0, существует такой элемент множества {X}, для которого выполняется неравенство + М.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Если множество {X} ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань. Если множество X = {X} ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю грань.
Доказательство. Пусть множество {X} ограничено сверху.
1. Пусть множество {X} имеет наибольший элемент , тогда для любого элемента х {X} выполняется неравенство x , т. е. – верхняя грань множества {X}. В то же время X. Следовательно, наименьшая из всех верхних границ данного множества, т.е. точная верхняя граница множества {X}.
2. Пусть множество {X} не имеет наибольшего элемента. Построим сечение в множестве действительных чисел так, чтобы в верхний класс А входили все верхние грани множества {X}, а в нижний класс А само множество {X}. Данное сечение производится некоторым действительным числом . При этом x X, следовательно, является верхней гранью множества {X}, тогда А и является его наименьшим числом. Значит, М, где М произвольная верхняя граница множества {X}, и = sup {X}.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. Ограниченное сверху (снизу) множество имеет только одну точную верхнюю (точную нижнюю) грань.