2.Подбор сечения балки по методу допускаемых напряжений

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям по методу допускаемых напряжений имеет вид:

_max [] (1)

В этой формуле:

_max  максимальное нормальное напряжение;

 максимальное по абсолютной величине значение изгибающего

момента (определяется по эпюре изгибающих моментов);

 момент сопротивления относительно оси y;

[ ]  допускаемое нормальное напряжение.

Момент сопротивления относительно оси y определяется по формуле

, (2)

где – момент инерции относительно оси y;

– максимальное расстояние, измеряемое по оси z от центра

тяжести до крайних точек поперечного сечения (см. рис.4);

Сечение, в котором изгибающий момент принимает максимальное по абсолютной величине значение, называют опасным сечением балки по нормальным напряжениям.

Из условия прочности (1) определяется требуемая величина момента сопротивления по формуле:

. (3)

Размеры сечения подбираются из условия: , где момент

сопротивления определяется через размеры поперечного сечения по формуле (2).

В опасном сечении по нормальным напряжениям (сечение B на рис.3)

=11,3 кНм = 11,310^-3 МНм.

Из условия прочности определяем требуемую величину момента сопротивления

.

Момент инерции трубчатого сечения найдем как разность моментов инерции большого круга диаметра D и малого круга диаметра d

,

тогда для момента сопротивления получаем

, , .

Используя заданное в условии соотношение , найдем и выразим момент сопротивления через внешний диаметр D

0,086376D³ = 0,0864D³.

Приравнивая и , получаем 0,0864D³  11,310^-5 м³

Из полученного соотношения определяем наружный диаметр D

D  0,10936 м = 0,109 м = 10,9 см.

Принимаем наружный диаметр D= 10,9 см, тогда внутренний диаметр

6,4118 см = 6,41 см.

Проверяем выполнение условия прочности. С этой целью определяем фактический момент сопротивления

111,877 см³ =

= 112 см³ = 112·10^-6 м³.

Находим максимальное нормальное напряжение 100,89 =101 МПа  [ ] = 100 МПа.

Полученный результат показывает, что балка перегружена (если бы , то балка была бы недогружена). Определяем величину перегрузки (недогрузки)

 =  = 1   5  .

Перегрузка (недогрузка) не должна превышать 5 %.

Замечание. Метод расчета по допускаемым напряжениям допускает пере-

грузку балок в пределах 5 %.

Итак, размеры поперечного сечения балки подобраны: D=10,9 см; d=6,41 см.

3.Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки по нормальным напряжениям

Для построения эпюры нормального напряжения воспользуемся

формулой, позволяющей определять нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения при изгибе

, (4)

где M  абсолютная величина изгибающего момента в том сечении, в кото-

ром определяется напряжение;

J_y  осевой момент инерции;

z  расстояние от оси y до точки, в которой определяется напряжение.

По формуле (4) определяется численная величина напряжения. Знак напряжения определяем с учетом положения растянутых волокон на эпюре

изгибающих моментов (отмечено пунктиром). Если растянуты нижние волокна (рис.5), то в нижней части поперечного сечения напряжения положительные, а верхней части – отрицательные. И наоборот.

В опасном сечении балки M= =11,3 кНм = 11,310^-3 МНм, растянуты нижние волокна (см. эпюру изгибающих моментов), поэтому нормальные напряжения в точках 1 и 2 – отрицательные, а в точках 3 и 4 положительные (рис.5).