Касательное напряжение в точке 5

МПа.

Можно показать, что касательные напряжения изменяются по параболическому закону. Эпюра касательных напряжений в опасном сечении по высоте стенки показана на рис.13.

Задача 3. Расчет на прочность стальной балки с промежуточным шарниром по методу допускаемых напряжений

Исходные данные:

a=2 м; b=3 м; с=1 м; q=16 кН/м;

m=4 кНм; F=12 кН.

Для заданной расчетной схемы балки на двух опорах (рис.14) требуется:

1.Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M.

2.Из условия прочности по методу допускаемых напряжений подобрать но-

мер прокатного профиля с сечением из двух швеллеров или двутавра. (Вы-

брать наиболее легкий). Принять допускаемое напряжение

[σ]=σ_adm=160МПа.

3.Определить опасные сечения по нормальным и касательным напряжениям

и для этих сечений построить:

а) эпюру нормальных напряжений по высоте балки;

б) эпюру касательных напряжений в пределах высоты стенки.

4.Проверить прочность выбранного сечения по главным напряжениям.

Решение

Для расчета балки с промежуточным шарниром можно использовать один из двух подходов, приводимых ниже.

I подход

1.Определение опорных реакций

Как видно из расчетной схемы балки (рис.14), имеем 4 неизвестных опорных реакции, а уравнений статики можно составить 3, поэтому, казалось бы, что задача является статически неопределимой. Однако наличие промежуточного шарнира позволяет составить дополнительное уравнение (сумма моментов всех сил, расположенных справа от шарнира, равна нулю). Таким образом, из уравнений статики можно определить все неизвестные опорные реакции:

F·1  q·4·3 + R_B·4=0;

12  16·4·3 + R_B·4=0;

 180 + R_B·4=0; R_B= кН;

H_A=0;

 M_A – m + F·3  q·4·5 + R_B·6=0;

M_A  4 + 12·3  16·4·5 + 45·6=0;

M_A  18=0; M_A=  18 кНм;

M_AR_A·6 – m F·3+ q·4·1=0;

 (  18)  R_A·6  4  12·3 + 16·4·1=0;

 R_A·6 + 42 =0; R_A= 7 кН.

Проверка правильности вычисления опорных реакций (сумма проекций всех сил на вертикальную ось z должна быть равна 0)

R_A + F  q·4 + R_B = 7 + 12  16·4 + 45=64  64=0.

2. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m

Расчетная схема балки имеет 4 участка, которые пронумеруем слева направо (рис.15).

I участок (начало отсчета на левом конце балки);

Q(x₁)=R_A=7 кН;

M(x₁)= M_A + R_A x₁ =  18 + 7x₁;

M(0)=  18 кНм (значение на левой границе участка);

M(2)=  4 кНм (значение на правой границе участка).

II участок (начало отсчета на левой границе участка);

Q(x₂)= R_A= 7 кН;

M(x₂)= M_A + R_A x₂ + m=  18 + 7 x₂ + 4= 7 x₂ 14;

M(2)=14  14= 0 (значение на левой границе участка);

M(3)= 7·3  14= 7 кНм (значение на правой границе участка).

III участок (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x₃)=  R_B + qx₃= 45 + 16x₃;

Q(1)= 45 + 16·1=  29 кН (значение на правой границе участка);

Q(4)=  45 + 16·4= 19 кН (значение на левой границе участка);

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль:

Q(x₀)=  45+16x₀=0; x₀=45/16=2,8125 м=2,81м;

M(x₃)= R_B(x₃ –1)  qx₃²/2= 45(x₃ –1)  16x₃²/2= 45(x₃ –1) 8x₃²;

M(1) = 45(1 –1)  8·1²=  8 кНм (значение на правой границе участка);

M(2,81) = 45(2,81 –1)  8·2,81²= 18,28 кНм=18,3 кНм;

M(4)= 45(4 –1)  8·4 ² =7 кНм (значение на левой границе участка).

IV участок (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x₄)= qx₄ = 16x₄ ;

Q(0)= 0 (значение на правой границе участка);

Q(1)= 16 кН (значение на левой границе участка);

M(x₄)=  qx₄²/2 =  16x₄²/2=  8x₄²;

M(0)=0 (значение на правой границе участка);

M(1)=  8·1² = - 8 кНм (значение на левой границе участка).

Используя полученные результаты, строим в масштабе эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, как показано на рис. 15.