15. Моделі встановлення рівноважної ціни: павутиноподібна модель, моделі Еванса та Самуельсона.

Розглянемо ринок, який характеризується ціною на товар , функцією попиту на товар та функцією пропозиції товару . Будемо вважати, що ці функції задовольняють такі властивості:

Крім того, будемо вважати, що функції та є неперервні: – опукла (опукла вниз), а – угнута (опукла вгору) функції.

Для таких функцій попиту та пропозиції рівняння

(4.1)

має єдиний розв'язок , який і є рівноважною ціною.

Якщо (4.1) розв’язується точно, то немає проблем із знаходженням рівноважної ціни. Якщо точно розв’язати його не можемо, то потрібно використати наближені методи і алгоритми. Один із таких алгоритмів традиційно називається павутиноподібною моделлю.

Алгоритм включає наступні етапи:

1. У початковий момент часу фіксується початкова ціна . Якщо , то . У протилежному випадку переходимо до пункту 2.

2. Якщо , то ціна спадає до величини , для якої . Далі, враховуючи, що , ціна зростає до величини , при якій і т.д. Це приводить до ітераційного процесу

Якщо , то алгоритм не змінюється.

3. Знаходження рівноважної ціни завершуємо, якщо:

, де – задана точність. При цьому .

Очевидно, що описаний вище алгоритм встановлення рівноважної ціни генерує послідовність цін , яка збігається до шуканої ціни :

.

Зауважимо, що у випадку, коли б функція була опуклою вниз, то описаний вище процес був би розбіжним.

Незважаючи на це, рівноважна ціна існує і вона єдина. У загальному випадку наближене розв’язування рівняння

(4.2)

Здійснюється різними наближеними методами.

При цьому, розв’язування здійснюється в 2 етапи:

1. відокремлення кореня рівняння (4.2) (встановлення відрізка мінімальної довжини, в якому міститься корінь)

2. уточнення кореня (безпосереднє його знаходження одним із методів).

Модель Еванса

На відміну від попереднього випадку,змінну часу будемо вважати неперервною. Це означає, що ціна буде неперервною функцією часу . Модель Еванса використовує припущення про те, що приріст ціни в часі прямо пропорційний з деяким коефіцієнтом різниці між попитом і пропозицією, тобто

(4.3)

де - надлишковий попит.

Зрозуміло, що перейшовши до границі у (4.3), при , ми отримаємо диференціальне рівняння:

(4.4)

яке і є моделлю в часі.

Коефіцієнт часто називається коефіцієнтом регулювання ціни. Якщо доповнити рівняння (4.4) початковою умовою

(4.5)

Отримаємо задачу Коші, розв’язавши її отримаємо єдину функцію цін на товар.

В найбільш простому випадку будемо вважати, що:

(4.6)

(4.7)

причому (бо при нульовій ціні попит перевищує пропозицію).

Підставимо (4.6) та (4.7) в (4.4), після чого від співвідношень (4.4) та (4.5), перейдемо до:

(4.8)

Диференціальне рівняння у (4.8) має стаціонарну (рівноважну) точку

(4.9)

Із (4.9) випливає, що рівноважна ціна не залежить від початкової ціни, а із (4.6) і (4.7), що є абсцисою точки перетину прямих попиту і пропозиції, тобто при цій ціні попит і пропозиція збігаються. На основі (4.8) можна також зробити висновок про те, що при ціна зростає , а при ціна спадає . При цьому

В

сі ці висновки проілюстровані на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Динаміка ціни в моделі Еванса з неперервним часом

Все сказане вище про динаміку ціни в моделі Еванса з неперервним часом можна підтвердити, скориставшись розв’язком (4.8)

Крім моделі Еванса з неперервним часом, можна розглянути також модель Еванса з дискретним часом. Дискретний аналог проілюстрований на рис. 4.3.

На цьому рисунку відображений механізм утворення послідовності цін, які зростають від початкової ціни до рівноважної ціни . Час розбитий тут на інтервали довжиною . Оскільки із (4.5) випливає, що , де , то з урахуванням (4.6) і (4.7) в момент часу ціна , де

Модель Самуельсона

На відміну від двох попередніх пунктів тепер розглянемо ринок товарів . Для такого випадку П.Самуельсон запропонував модель динаміки цін, яка в певному розумінні узагальнює модель Еванса. Основним припущенням тут також є припущення про те, що приріст ціни в часі на -ий товар прямо пропорційний надлишковому попиту різниці між попитом і пропозицією) з деяким коефіцієнтом , тобто

(4.10)

Коефіцієнт ще називають коефіцієнтом регулювання ціни на -ий товар.

На основі (4.10) при заданому векторові початкових цін , де , модель формування цін на товари можна описати задачею Коші

(4.11)

Система співвідношень (4.11) називається моделлю Самуельсона динаміки цін на n товарному ринку.