Неокласична модель поведінки споживача.
В математичному плані ця модель формалізується задачею:
(1.7)
де
– невід’ємний ортант
-мірного
векторного (точкового) простору
;
– вектор додатних цін на товари;
– дохід (або бюджет) споживача, який
використовується на закупівлю товарів;
– неокласична функція корисності
(строго опукла вгору (угнута) і двічі
неперервно диференційовна).
Задача
(1.7), очевидно, є задачею опуклого
програмування. Оскільки допустима
множина
задовольняє умову регулярності Слейтера
(існує точка
,
для якої
,
наприклад, при
),
то у функції Лагранжа коефіцієнт при
цільовій функції
дорівнює одиниці
,
тобто функція Лагранжа має вигляд:
,
(1.8)
де
– невизначений множник Лагранжа.
Умови
існування розв’язку задачі (1.7) рівносильні
умовам існування сідлової точки
функції Лагранжа (1.8) і конкретизуються
теоремою Куна-Таккера.
Уточнимо,
що пара
називається сідловою точкою функції
Лагранжа на множині
,
якщо для всіх
і
виконуються нерівності:
.
Теорема
1.2. (Теорема Куна-Таккера).
Для
того, щоб пара
була сідловою точкою функції Лагранжа
(1.8) задачі (1.7) необхідно і достатньо
виконання умов:
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
;
(1.12)
(1.13)
Нагадаємо, що умови (1.9),(1.10) відображають так званий принцип максимуму, умови (1.11), (1.12) є умовами доповнюючої нежорсткості, а (1.13) – це стандартні умови невід’ємності.
Аналіз
умов оптимальності, сформульованих в
теоремі Куна-Таккера, дозволяє зробити
ряд цінних висновків. Із умов (1.11)
випливає, що
,
якщо
.
Це означає, що при
.
(1.14)
Співвідношення
(1.14) стверджує: для
кожного закупленого товару
відношення частинної граничної корисності
до відповідної ціни є сталою величиною.
Якщо
закуплені всі товари
,
то
або
.
(1.15)
Згідно з (1.15) відношення частинних граничних корисностей для закупленого оптимального набору товарів рівні відношенням цін на товари.
Із умови
(1.12) випливає, що при
.
(1.16)
Інакше кажучи, рівність (1.16) трактується таким чином: при оптимальному споживанні весь дохід повинен бути витрачений споживачем.
При
цьому шуканий розв’язок
задачі (1.7) лежить на граничній гіперплощині
симплексу допустимих споживацьких
наборів.
Без втрати загальності можна вважати що споживач закуповує всі види товарів, інакше розмірність простору товарів можна зменшити вилучивши ті товари, які не купляються. Тоді для знаходження змістовного розв’язку задачі (1.7) маємо систему рівнянь:
(1.17)
Система
(1.17) є визначеною. Оскільки вона має
рівнянь і
невідомих змінних. Очевидно також, що
розв’язок системи залежить в загальному
випадку від параметрів
та
,
що, як ми побачимо пізніше, матиме важливе
значення для моделювання функцій попиту
на товари та граничної вартості грошей,
а поки-що конкретизуємо геометричне
тлумачення задачі (1.7). Розглянемо
найпростішу ситуацію, коли
(простір товарів є двовимірним). Тоді
система (1.17) набуде вигляду
(1.18)
Розв’язок
системи (1.18) лежить на граничній прямій
(задовольняє третю рівність (1.18)) простору
товарів, яка перетинає осі
і
відповідно у точках
і
.
Крім того, цей розв’язок є точкою дотику
прямої
до кривої байдужості
.
Інакше кажучи дана пряма є дотичною до
кривої байдужості, тому з одного боку
її кутовий коефіцієнт
а
з іншого боку кутовий коефіцієнт дотичної
до кривої байдужості в точці
рівний похідній функції
в цій точці, тобто
Оскільки
,
то
. (1.19)
Співвідношення (1.19) випливає також з перших двох рівнянь системи (1.18). Отже, для знаходження розв’язку (1.7) при треба розв’язати систему рівнянь (1.18) або систему, що складається з рівняння (1.19) та рівняння прямої .