23. Аналіз оптимальних траєкторій динамічної моделі Леонтьєва засобами магістральної теорії.

Динамічні моделі менш ідеалізовані та більш адекватні щодо реальної дійсності. У попередньому пункті розглянуто лише один із варіантів динамічної моделі міжгалузевого балансу, на основі якої можна побудувати допустиму траєкторію розвитку багатогалузевої економіки на певному відрізку часу. Можна також розглянути багато інших варіантів динамічного міжгалузевого балансу, зокрема в основі багатьох більш складних і змістовних моделей, що використовуються в практиці планування й прогнозування, лежить так звана -модель [1, 25, 30, 39]. Однак в економіко-математичній теорії розроблена загальна динамічна модель багатогалузевої економіки Неймана [1], яка містить у собі як окремий випадок більш прості варіанти моделей динамічного міжгалузевого балансу і буде описана пізніше. Реальна модель такого типу, по-перше, є задачею великої розмірності, а по-друге, є оптимізаційною задачею, оскільки потрібно вибрати не просто траєкторію, а оптимальну траєкторію розвитку багатогалузевої економіки. Знайти розв’язки таких задач складно або й неможливо. У зв’язку з цим розвинена теорія якісних методів дослідження оптимальних траєкторій моделей нейманівського типу, зокрема магістральна теорія, елементи якої проілюструємо нижче на прикладі одного з найпростіших варіантів оптимізаційної динамічної моделі Леонтьєва.

Як і раніше, розглянемо економічну систему, що складається з „чистих” галузей, причому – матриця міжгалузевого балансу, – вектор валової продукції, – вектор проміжної продукції (вектор виробничих витрат). Нехай виробничий процес досліджується на проміжку часу , який поділений на періодів: , , ..., . Кожному моменту часу відповідає свій вектор валової продукції , який при використовується як вектор виробничих ресурсів для виробничого циклу в наступний період . Очевидно, вибір вектора можна здійснити різними способами, тому перед дослідником постає природне запитання про знаходження деякої оптимальної траєкторії динамічного процесу виробництва, в якій початковий стан заданий. Якщо, крім того, задати вектор цін на продукцію в кінці планового періоду (тобто в момент ), то можна поставити таку оптимізаційну задачу: побудувати таку траєкторію розвитку -галузевої економіки, яка б при заданих , , та відповідних технологічних обмеженнях максимізувала вартість продукції (або вартість термінального стану економіки). Математична модель цієї задачі має такий вигляд:

(5.40)

У моделі (5.40) нерівність формалізує технологічне обмеження в період часу і означає, що виробничі витрати в цей період не можуть перевищувати виробничих (ресурсних) запасів, які сформувались на початок даного періоду. В економіко-математичній літературі модель (5.40) часто називають динамічною моделлю Леонтьєва, опускаючи термін „оптимізаційна”, хоча насправді вона є саме такою. Як уже було сказано вище, ця модель, як частинний варіант моделі Неймана, узагальнює схему задання технології виробничого процесу. В математичному плані модель (5.40) є стандартною задачею лінійного програмування [7, 36], дослідження якої дозволить нам продемонструвати суть магістральної теорії.

Перш за все, запишемо ресурсні обмеження в скалярному вигляді:

де .

У зв’язку з цими обмеженнями введемо вектори , , та матрицю

,

елементами якої є квадратні матриці розмірності .

Тоді задача лінійного програмування (5.40) запишеться так:

(5.41)

Двоїстою до (5.41) буде задача

(5.42)

де .

Очевидно, від (5.42) можна перейти до більш деталізованої задачі

(5.43)

Задача (5.43) є задачею мінімізації вартості початкових ресурсів.

Усі сформульовані вище задачі (тобто задачі (5.40)–(5.43)) є задачами великої розмірності. Практично розв’язати їх вдається не завжди, тому виникає питання про якісний аналіз оптимальних траєкторій, тобто про дослідження поведінки цих траєкторій без їх наявної конкретизації. Такими питаннями займається магістральна теорія.

Щоб сформулювати основний результат цієї теорії стосовно моделі (5.40), введемо спочатку ряд допоміжних понять.

Означення 5.6. Число ,

де – евклідова норма, називається квазіметрикою, або мірою „кутової” відстані між векторами .

Очевидно, число є довжиною вектора , що є різницею двох нормованих векторів. Зазначимо очевидні властивості квазіметрики :

• тоді і лише тоді, коли вектори , колінеарні;

• для всіх чисел ;

• якщо при , , то ;

• для будь-яких .

Означення 5.7. Промінь

називається магістраллю для задачі (1.40), якщо для будь-якого існують такі числа і , що для довільної оптимальної траєкторії виконується нерівність для всіх .

Інколи магістраллю називають просто вектор , який породжує промінь .

Довільне твердження про наявність магістралі називається теоремою про магістраль.

Значення теореми про магістраль полягає в тому, що промінь дає апроксимацію оптимальних траєкторій. Інакше кажучи, оптимальна траєкторія „майже весь час” знаходиться у „вузькому” конусі, вісь симетрії якого колінеарна до магістралі  . Звичайно, проміжок вважається досить великим: . Числа і не залежать від планового горизонту , а сам вектор „мало залежить” від зміни цільового функціонала . Усе це випливає із строгих математичних обґрунтувань.

Щоб сформулювати теорему про магістраль для задачі (5.40), наведемо визначення примітивної матриці. Як відомо, невід’ємні матриці можна поділити на два класи: розкладні й нерозкладні. Нерозкладні матриці також поділяються на два класи: циклічні та примітивні. Змістовність такого поділу легко обґрунтувати.

Означення 5.8. Нерозкладна матриця називається циклічною (або імпримітивною), якщо множину можна подати у вигляді , , причому, якщо , , , то , а при індекс .

Одночасною перестановкою рядків та стовпчиків циклічної матриці її можна звести до вигляду

,

де розмірність квадратної матриці збігається з кількістю елементів у множині .

Означення 5.9. Нерозкладна матриця , яка не є циклічною, називається примітивною.

Справедливе наступне твердження, яке ми формулюємо без доведення.

Теорема 5.14 (теорема Морішими про магістраль для динамічної моделі Леонтьєва з термінальним функціона­лом). Нехай у задачі (5.40) матриця – невід’ємна, нерозкладна та примітивна, а вектори і – додатні. Тоді магістраллю для задачі (5.40) буде правий вектор Фробеніуса матриці .

Доведення цієї теореми можна знайти в [1, 39]. Засобами магістральної теорії досліджено багато задач, аналогічних до (5.40), зокрема задачі з нетермінальним, тобто інтегральним цільовим функціоналом, однак розгляд таких задач і відповідних їм моделей виходить за рамки даного посібника.