3.2. Расчёт простейших цепей

3 .2.1. Типовые примеры

ЗАДАЧА 3.1. На рис. 3.2 приведены осциллограммы напряжения и тока. Требуется записать выражения для их мгновенных значений, определить действующие значения напряжения и тока.

Решение

По осциллограммам определяем период колебаний Т = 20 мс, следовательно, час-тота f =1/T = 50 Гц, а угловая частота  = 2f = 314 рад/с. Начальные фазы напряжения и тока в градусах, соответственно:

ψ_u = -t₁(360/T) = 1,67(360/20) = 30, ψ_i = -t₂(360/T) = -2,5(360/20) = -45,

Амплитуды: U_m = 400 B, I_m = 1,5 A.

Следовательно, u(t) = 400sin(314t+30) B, i(t) = 1,5sin(314t-45) A.

Действующие значения: U = = = 282 B, I = = = 1,061 A.

ЗАДАЧА 3.2. Цепь r, L с параметрами r = 35 Ом, L = 80 мГн питается от источника синусоидального напряжения частоты f = 50 Гц. Амплитудное значение напряжения питания U_m= 200 B, а начальная фаза ψ_u = -20. Рас-считать мгновенное и действующее значения тока. Построить векторную диаграмму цепи. Найти активную, реактивную и полную мощности цепи. Построить треугольник мощностей.

Решение

Приведём расчётную схему цепи (рис. 3.3,а).

З апишем мгновенное значение приложенного к цепи r, L напряжения:

u(t) = U_msin(ωt + ψ_u)= 200sin(ωt – 20) B.

Круговая частота ω = 2f = 250 = 314 рад/с.

Индуктивное сопротивление цепи x_L= ωL = 3148010 ^-3 = 25,12 Ом.

По второму закону Кирхгофа для контура цепи u = u_r + u_L или в век-торной форме u = u_r + u_L. На основании этого уравнения строится вектор-ная диаграмма напряжений (рис. 3.3,б).

Треугольник сопротивлений цепи приведен на рис. 3.3,в. Это – прямо-угольный треугольник, из которого получаем

полное сопротивление цепи Z = = = 43,1 Ом

и угол сдвига фаз между током и напряжением

 = arctg = arctg = 35,67.

По закону Ома для амплитудных значений I_m= = = 4,64 A.

Начальная фаза синусоиды тока ψ_i = ψ_u –  = -20 – 35,67= -55,67.

Мгновенное значение искомого тока i(t) = 4,64sin(314t – 55,67) A.

Действующее значение тока I = = = 3,28 A.

Действующие значения напряжений на участках:

- на резисторе u_r = I r = 3,2835 = 115 B;

- на индуктивности u_L = I x_L = 3,2825,12 = 82,4 B;

- на входе цепи (напряжение сети) u = = = 141,4 B.

Активная мощность цепи P = UIcos = I ²r = 3,28²35 = 376,5 Bт.

Реактивная мощность Q= UIsin = I ²x_L = 3,28²25,12 = 270,2 вар.

Полная мощность S = UI = 141,43,28 = 464 BA.

Треугольник мощностей приведен на рис. 3.3,г.

Отметим, что на основании любого из треугольников рис. 3.3 можно рассчитать коэффициент мощности

cos = = = = = 0,811 = cos35,67,

полученный ранее на основании треугольника сопротивлений цепи.

ЗАДАЧА 3.3. В цепи рис. 3.4,а протекает синусоидальный ток i(t) = 10sin(ωt +15) A частоты f = 400 Гц. Активные сопротивления r₁ = = 10 Ом, r₂ = 20 Ом, ёмкость С = 10 мкФ.

Р ассчитать мгновенное значение напряжения сети u(t) и напряжения на конденсаторе u_С(t). Найти показания вольтметра и ваттметра. Построить векторную диаграмму цепи.