Решение

Совместим вектор входного напряжения с вещественной осью. Тогда

U = U = 380 B.

Комплексное сопротивление цепи

Z = r – jх_С = r – j = 1000 – j = 1000 – j1592 = 1880e ^-j57,87 Ом.

По закону Ома определяем комплекс тока в цепи

I = = = 0,202e ^j57,87 А.

Комплекс напряжения на ёмкости

U_С = I(-jх_С) = 0,202e ^j57,87(-j1592) = 321,8e ^–j32,13 В.

Мгновенное значение напряжения на ёмкости

u_С(t) = Im = 455,1sin(t – 32,13) В.

ЗАДАЧА 3.31. В схеме рис. 3.30 определить показание амперметра, если u(t) = 300sin(t – 30) В; r₁ = 12 Ом; r₂ = х_L1 = 16 Ом; х_L2 = 20 Ом; х_C2 = 32 Ом; r₃ = х_L3 = 100 Ом; х_C1 = 12,5 Ом.

Решение

Определим комплексные сопротивления параллельных ветвей

Z₁ = r₁ + jх_L1 = 12 + j16 Ом; Z₂ = r₂ + j(х_L2 – х_С2) = 16 – j12 Ом;

Z₃ = r₃ = 100 Ом; Z₄ = -jх_С1 = -j12,5 Ом; Z₅ = jх_L3 = j100 Ом.

Комплексная проводимость всей цепи

Y = + + + = + + + + =

= 0,08 + j0,06 = 0,1e ^j36,9 См.

Комплекс входного напряжения, соответствующий его синусоиде

U = e ^–j30 В.

По закону Ома определяем ток в неразветвлённой части цепи

I = YU = 0,1e ^j36,9 e ^–j30 =

= 21,21e ^j6,9 А.

Следовательно, амперметр будет показывать 21,21 А.

ЗАДАЧА 3.32. В условиях задачи 3.25 определить показания приборов электродинамической системы, используя комплексный метод.

Решение

Направим по вещественной оси вектор входного напряжения, то есть примем U = U = 200 B.

Определим комплексные сопротивления ветвей

Z₁ = r₁ – jх₁ = 6 – j8 Ом; Z₂ = jх₂ = j10 Ом; Z₃ = r₃ – jх₃ = 5 – j15 Ом.

Комплексное сопротивление всей цепи

Z = Z₁ + = 6 – j8 + = 16 + j12 Ом.

Ток источника I₁ = = = 8 – j6 = 10e ^–j36,9 А.

Токи параллельных ветвей

I₂ = I₁ = 10e ^–j36,9 = 10 – j20 = 22,36e ^–j63,4 А;

I₃ = I₁ = 10e ^–j36,9 = -2 + j14 = 14,14e ^j98,1 А.

Напряжение на параллельных ветвях (измеряется вольтметром и подаётся на ваттметр)

U_W = I₂×Z₂ = 22,36e ^–j63,4·j10 = 223,6e ^j26,6 = 200 + j100 B.

Показание ваттметра

P_W = Re[U_W  ] = Re[223,6e ^j26,610e ^j36,9]= 1000 Bт.

Следовательно, показания приборов:

А₁  10 А; А₂  22,36 А; А₃  14,14 А; V  223,6 B; W  1000 Bт.

ЗАДАЧА 3.33. В схеме рис. 3.31,a известно: Е₁ = Е₂ = 100 В, причём Е₂ опережает Е₁ на 90 по фазе; J = 5 A, причём ток этого источника находится в противофазе с Е₂; r = х_C = 10 Ом; х_L = 20 Ом.

Требуется определить токи во всех ветвях, показание ваттметра, составить баланс реактивных мощностей, построить топографическую диаграмму для контура 1-2-3-1.

Решение

Совместим с вещественной осью вектор Е₁, тогда для источников комплексы будут следующими:

Е₁ = 100 В; Е₂ = 100e ^j90 = j100 B; J = 5e ^-j90 = -j5 A.

Поскольку в схеме два узла, то расчёт токов рационально произвести методом узлового напряжения U₁₂ = ,

где комплексные проводимости ветвей: Y₁ = = = 0,1 См;

Y₂ = = = = -j0,1 См;

Y₃ = = = j0,1 См.

Тогда U₁₂ = = j50 В.

По закону Ома определяем токи:

I ₁ = = = 10 – j5 А;

I ₂ = (Е₂ + U₁₂)Y₂ = (j100 + j50)(-j0,1) = 15 А;

I ₃ = U₁₂Y₃ = j50j0,1 = -5 А.

Правильность определения токов проверим по первому закону Кирхгофа для узла 1: -I ₁ + I ₂ + I ₃ + J = 0 или -10 + j5 +15 – 5 – j5 = 0.

Показание ваттметра: P_W = Re[U₁₄(- )].