3. Уравнение Шредингера для стационарного состояния; волновая функция и её статистический смысл
В квантовой механике
состояние микрообъектов описывается
принципиально по-новому с помощью
волновой функции
(пси). Так как искомое уравнение должно
учитывать волновые свойства частиц, то
оно должно быть волновым уравнением,
подобно уравнению, описывающему
электромагнитные волны. Основное
уравнение было введено Шредингером в
1926 г. Он базировался на двух аспектах.
Корпускулярном:
задано.
Волновом:
- уравнение плоской
волны, где
- волновое число, но т.к.
,
то
.
С точки зрения того, что корпускула это и волна, то по де Бройлю:
,
,
можно записать
,
,
или в комплексной записи
,
,
где
- волновая функция в комплексной форме.
Нас интересует только амплитудная часть волны де Бройля, т.е. сомножителем - функция не зависит от времени.
Найдем первую производную:
.
Найдем вторую производную:
,
тогда
,
зная, что
,
отсюда:
или
.
(1)
Для 3 - мерного пространства в силовом поле имеем:
,
,
где
- потенциальная энергия.
,
где
- оператор Лапласа или его символьное
изображение
(оператор набла).
,
(2)
(2)- уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Решениями уравнения (1) и (2) являются функции вида:
1)
,
2)
.
Стационарным является состояние: энергия частицы не зависит от времени и const, силовое поле тоже не зависит от времени, а только от координат.
Что представляет собой волновая функция и для чего необходимо уравнение Шредингера?
Уравнение Шредингера описывает свойства и поведение микрочастицы в квантовой механике.
Физический смысл волновой функции - он может быть раскрыт путем сопоставления дифракции света и дифракции электронов.
- число фотонов в
этом месте пространства.
К
оличество
фотонов (частиц)
определяется вероятностью P
нахождения частиц в данном месте
пространства
- волновая теория,
- корпускулярная теория.
Если дифракция
электронов происходит на решетке, то
или
,
а
.
Физический смысл имеет не сама функция
,
а её квадрат, он определяет плотность
вероятности нахождения частицы в данном
месте пространства. То есть
по абсолютной величине представляет
собой плотность вероятности обнаружения
электрона
,
или
,
вероятность
нахождения частиц в объеме
.
Проинтегрировав по всему пространству
,
т.е. полная вероятность обнаружения частицы где-то в пространстве равна 1 (условие нормировки). Если частица существует, то она где-то обнаружит себя, что является абсолютно достоверным событием, а вероятность достоверного события равна 1.
Из физического смысла квадрата модуля функции вытекает, что в квантовой механике имеет статистический характер движение любой отдельной микрочастицы.
Уравнение Шредингера дает не только решение, которое соответствует экспериментально-статистическому распределению частиц, но совместно с условиями, налагаемыми на волновую функцию, дает правило квантования энергии.
Литература
1, глава IV, § 18 22.
2, глава 28, § 213 217.
3, глава 33, 34, §34.1 34.2.