6.1.4. Определение параметров нерекурсивного фильтра низкой частоты.

Синтез НРФ состоит в определении импульсной характеристики фильтра, обеспечивающей выполнение требований, предъявляемых к фильтру.

Этапы синтеза:

13. Определение числа коэффициентов (порядка ЦФ).

14. Выбор метода синтеза, минимизирующего отклонение между желаемыми и реальными характеристиками фильтра.

15. Вычисление коэффициентов.

16. Анализ результатов синтеза и принятие решения. Если результат неудовлетворительный – синтез повторяют.

Основным преимуществом НРФ по сравнению с РФ является получение линейной (частотной) характеристики ЧХ.

Существует 4 вида НРФ:

1. - нечетное и коэффициенты симметричные;

2. - четное и коэффициенты симметричные;

3. - нечетное и коэффициенты несимметричные;

4. - четное и коэффициенты несимметричные.

ЦФ с четными коэффициентами задерживают выходные сигналы на периода дискретизации. Мы будем рассматривать НРФ с нечетными симметричными коэффициентами.

6.1.5. Синтез нрф с использованием окон.

При синтезе НРФ возникает задача определения весовых коэффициентов так, чтобы заданная желаемая передаточная функция хорошо достигалась «по возможности». Это «по возможности» хорошо достигается, если аппроксимировать заданную передаточную функцию по методу наименьших квадратов.

Для определения коэффициентов необходимо:

1. Задать вид ПФ идеального фильтра (желаемую передаточную функцию) :

Рис 3. Передаточная функция идеального фильтра.

2. Помнить о свойствах ДПФ – периодичности:

Рис 4. Передаточная функция цифрового фильтра.

3. Т.к. аппроксимация передаточной характеристики производится рядом Фурье, то нужно помнить о его особенностях: с ростом членов ряда ошибка аппроксимации уменьшается:

Рис 5. Передаточная функция реализованного фильтра.

4. Метод наименьших квадратов Гаусса служит критерием аппроксимации:

. (8)

5. Погрешность аппроксимации минимальна в среднем квадратическом, если весовые коэффициенты искомого фильтра являются коэффициентами разложения в ряд . Во временной области разложение в ряд Фурье выглядит так:

. (9)

Коэффициенты этого ряда вычисляются по уравнению:

. (10)

В частотной области передаточная функция совпадает с ДПФ весовых коэффициентов фильтра.

С учетом (4) получаем:

. (11)

Разобьем данное выражение на два интеграла с нижним пределом .

. (12)

Если - четная, , то

. (13)

Если - нечетная, , то

. (14)

6.1.5. Расчет коэффициентов фильтра.

Определим коэффициенты идеального фильтра низкой частоты (ФНЧ) с передаточной функцией при ; - четная. Используя (13) получим:

. (15)

Таким образом, коэффициенты фильтра зависят от граничной частоты и частоты дискретизации, поэтому часто при определении параметров фильтра определяется граничная круговая частота:

, (16)

Уравнение для вычисления коэффициентов ФНЧ имеет вид:

. (17)

Пример:

Рассчитать фильтр низких частот, если .

1) ;

2)

;

;

.

Уравнение фильтра согласно (1) выглядит следующим образом:

,

передаточная функция:

.

Рис 6. Передаточная функция ФНЧ, параметры которого

определены по методу наименьших квадратов.