2.2. Разложение в ряд Фурье.

Периодические сигналы можно представить в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

– не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

– число разрывов первого рода должно быть конечным;

– число экстремумов должно быть конечно (в качестве примера функции, не удовлетворяющей этому условию можно привести функцию в окрестности нуля).

Существует несколько форм записи ряда Фурье.

Синусно-косинусная форма.

, (11)

где , - кратная частота, называемая гармоникой.

Коэффициенты ряда , и рассчитываются по формулам:

; ; .

Если - четная функция, , - нечетная – .

Вещественная форма.

. (12)

Для четной функции и , для нечетной – .

Комплексная форма:

. (13)

Комплексные коэффициенты ряда связаны с вещественными следующими соотношениями:

, , .

Связь с синусно-косинусной формой:

, , . (14)

Расчет коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме:

. (15)

Если – четная, то - вещественные, если нечетная – мнимые.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называется амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром.

Если анализируемый сигнал является вещественным, то его амплитудный и фазовый спектры обладают симметрией:

; ; . (16)

2.3. Примеры разложения в ряд Фурье.

а) Последовательность прямоугольных импульсов.

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов: .

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр.