Подчеркивание контуров дифференциальным оператором.

Дифференциальный (градиентный, Лапласа) оператор, выполненный для целей обработки изображений в дискретной форме, осуществляет вычисление разности яркостей в пределах окна оператора (оператор локальный). В общей форме дифференциальные операторы линейны:

. (15)

Для обострения границ произвольно ориентированных структур требуются изотропные алгоритмы. Они могут быть нечетного (градиентные операторы) или четного (операторы Лапласа) порядка. Неприятное свойство дифференциальных операторов – усиление шума (высокочастотных помех) из-за усиления высоких пространственных частот. Чем выше порядок дифференцирования, тем чувствительнее они реагируют на высокочастотные помехи. Для уменьшения этих эффектов перед использованием дифференциальных операторов имеет смысл произвести шумоподавление. Если это невозможно, действует правило: чем больше шумовая помеха, тем протяженнее должен быть локальный фильтр. Другой путь уменьшения чувствительности к шуму состоит в разработке дифференциальных операторов, которые формируют разности усредненных величин.

Рассматриваемые здесь дифференциальные операторы находят применение при сегментации изображения (разбиение изображения на значимые фрагменты).

В цифровом изображении приближение к дифференциальным операторам достигается формированием разностей соседних элементов изображения.

Подчеркивание контуров как средство визуального улучшения изображений используют в связи с тем, что зрительный анализатор человека эффективно выделяет в изображении контуры объектов. В дальнейшем будут сопоставлены некоторые дифференциальные операторы и определяющие их уравнения.

Градиентные операторы.

Модуль градиента в аналоговой форме может быть представ­лен следующим соотношением:

. (16)

Аналогично для направления вектора градиента:

. (17)

В дискретном изображении разности рассчитываются на осно­ве следующей схемы, которая может быть распространена и на боль­шие размеры окна (маски):

m-1 n-1	m-1 n	m-1 n+1
m n-1	m n	m n+1
m+1 n-1	m+1 n	m+1 n+1

Очень простым градиентным оператором является оператор Робертса:

(18)

или ,

где , ;

следовательно:

.

Маски компонентов оператора:

.

Градиентное изображение сдвинуто на половину интервала дискретизации в горизонтальном и вертикальном направлениях по отношению к исходному, т. Е. его координаты ; . Так как градиент Робертса образует разности соседних точек в обоих диагональных направлениях, он весьма чувствителен к шумам в изображении. Оператор Робертса находит применение в алгоритмах отслеживания контуров.

Дифференциальный оператор используется и в следующей простейшей форме. Из определения первой частной производной непрерывной двумерной функции при , можно записать:

. (19)

В дискретном случае необходимо подставить , а и принять равными 1. Тогда получим следующие разностные приближения:

– разность в направлении ;

– разность в направлении .

Следовательно, в соответствии с (16) получается градиентное поле:

. (20)

Маски градиентов этого оператора есть:

.

Симметричный вариант этого градиента выглядит следующим образом:

– разность в направлении ;

– разность в направлении .

Маски компонентов этого теперь уже симметричного вокруг элемента оператора теперь будут:

.

Эта симметрия играет важную роль, так как преобразования производятся симметрично относительно рассматриваемого элемента изображения.

В соответствии с принципом направленно-зависимых разностей разработано большое количество мощных направленно-зависимых детекторов и обострителей контуров. Размер окна обычно выбирается , реже – . Приближение к градиенту вычисляется через разность, пропорциональную модулю, или же через сумму разностей модулей. Такие операторы относительно устойчивы к шуму.

Распространенный взвешенный симметричный градиентный оператор с размером окна , известный с 1970 г., - оператор Превитта имеет одновременно и сглаживающее и дифференцирующее действие:

. (21)

Как видно, сглаживание осуществляется в направлении , а формирование разностей – в направлении .

. (22)

Здесь сглаживание идет в направлении , а формирование разностей – в направлении .

Модуль градиента:

. (23)

Благодаря учету большого количества соседних точек этот градиент менее чувствителен к шуму, чем градиент Робертса.