Пропорционально-интегрально-дифференционные регуляторы

Пропорционально-интегрально-дифференционные регуляторы (ПИД-регуляторы) осуществляют перемещение регулирующего органа пропорционально отклонению, интегралу от отклонения и скорости отклонения регулируемой величины, т.е.

. (181)

Как видно из последнего выражения, здесь вводится постоянная времени дифференцированно –Т_пр, называемая временем предварения регулятора, которая характеризует степень ввода в закон регулирования производной. При Т_пр=0 ПИД-регулятор превращается в ПИ-регулятор.

Структурно ПИД-регулятор можно представить (рис. 1 – 53) в виде параллельно соединенных пропорционального, интегрального и идеально-дифференцирующего звеньев, на вход которых подается ошибка рассогласования – z(t), а выходы звеньев складываются, формируя регулирующее воздействие – X_p(t).

Передаточная функция регулятора имеет вид

. (182)

Комплексно-частотная характеристика регулятора

(183)

представленная на комплексной плоскости (рис. 1 – 54) прямой, проведенной параллельно мнимой оси на расстоянии к_р от нее, причем, как видно из рисунка, ПИД-регулятор на нижних частотах аналогичен ПИ-регулятору, а на высоких – реализует ПИД-закон регулирования. Последнее говорит о целесообразности использования ПИД-регуляторов при наличии достаточно интенсивных (высокочастотных) возмущений, действующих на объект.

ПИД-регуляторы представляют собой регуляторы непрямого действия, реализуемые по схеме на рис. 1 – 49, причем передаточная функция обратной связи должна быть эквивалентна передаточной функции последовательно соединенным колебательным и идеально-дифференцирующему звеньям, т.е.

.

В этом случае передаточная функция регулятора имеет вид (182), если Т₁=Т_и; Т²₂=Т_иТ_пр, а .

§ 1-12 Понятие устойчивости систем автоматического управления

Линейная система автоматического управления является устойчивой, если после снятия возмущающего воздействия она возвращается к состоянию равновесия (рис. 1 – 55а). Если в системе автоматического управления после снятия возмущающего воздействия возникают незатухающие колебания, то система находится на границе устойчивости (рис. 1 – 55б). Если же в системе автоматического управления возникают расходящиеся колебания, то система будет не устойчивой (1 – 55в).

Указанное нестрогое определение устойчивости систем автоматического управления будет правомочно лишь для линейных систем, в то время как для определения устойчивости нелинейных систем вводится понятие устойчивости систем в «малом» и «большом», если независимо от величины возмущающего воздействия она возвращается в равновесное состояние.

Физической интерпретацией такой системы может служить вогнутая поверхность (рис. 1 – 56а), на дне которой находится шарик: независимо от того, в каком положении находится этот шарик, он по истечении какого-то времени вернется в нижнее положение. Система автоматического управления будет устойчива в «малом», если она возвращается в равновесное состояние только при небольших возмущающих воздействиях, а при больших возмущениях она становится неустойчивой или переходит в новое состояние равновесия.

Физической интерпретацией такой системы может служить поверхность на рис. 1 – 56б, наглядно показывающая, что при небольших первоначальных отклонениях шарика от исходного состояния он возвращается в состояние равновесия, а при значительных первоначальных отклонениях шарик не возвращается в исходное состояние равновесия, т.е. система будет неустойчивой. Такими свойствами обладают нелинейные системы автоматического управления, которые в зависимости от величины возмущающего воздействия могут быть либо устойчивыми, либо неустойчивыми. Следовательно, устойчивость системы автоматического управления в «малом» является характерной особенностью нелинейной системы.

Линейные системы, устойчивые в «малом», будут устойчивы и в «большом».

Для выявления причин устойчивости или неустойчивости систем автоматического управления рассмотрим линейное дифференциальное уравнение, описывающее динамические свойства системы

. (184)

Свободное движение этой системы (см. § 1-5) определяется видом левой части, которая в определенной форме записывается следующим образом:

. (185)

Тогда решение дифференциального уравнения (84) следует искать в виде:

. (186)

Отсюда следует, что для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все слагаемые уравнения (86) с течением времени стремились к нулю. Последнее будет наблюдаться только в том случае, когда все корни – Р_i характеристического уравнения:

(187)

будут вещественными отрицательными – P_i=- или комплексные с отрицательной действительной частью – P_i=-i.

Таким образом необходимым условием устойчивости линейной системы является расположение корней характеристического уравнения в комплексной плоскости левее мнимой оси (рис. 1 – 57).

К сожалению, вычисление корней характеристического уравнения часто является очень сложной и громоздкой задачей. Однако для оценки устойчивости системы управления не обязательно точное знание корней характеристического уравнения, а достаточно лишь знать их расположение в комплексной плоскости, т.е знак вещественной части корней характеристического уравнения.

Эта особенность существенно облегчает анализ систем управления и приводит к тому, что устойчивость систем автоматического управления исследуют с помощью оценок, называемых критериями устойчивости, тесно связанных с коэффициентами характеристического уравнения.

При анализе и синтезе АСУ широко исследуются следующие критерии устойчивости:

1. алгебраические критерии устойчивости;

2. критерий устойчивости Михайлова;

3. амплитудно-фазовый критерий устойчивости.

§ 1-13 Критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости представляют собой совокупность требований, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения для того, чтобы все корни его находились в левой полуплоскости. К таким критериям относятся критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса, Гурвица, Михайлова и ряд других.