Последовательное соединение звеньев

Для простоты полагаем, что система состоит из трех последовательно-соединенных звеньев (рис. 1 – 37).

Необходимо найти связь между входом системы X_вх(p) и ее выходом y(p).

При данном соединении выход каждого предыдущего звена является входом для последующего, т.е.

Решая эту систему уравнений, находим:

.

Отсюда следует, что передаточная функция системы, состоящей из трех последовательно-соединенных звеньев, равна:

. (160)

Таким образом, передаточная функция системы, состоящей из последовательно-соединенных звеньев, равна произведению передаточных функций этих звеньев.

Данное правило остается справедливым и для комплексно-частотной характеристики, а именно, комплексно-частотная характеристика системы, состоящей из последовательно-соединенных звеньев, равна произведению комплексно-частотных характеристик этих звеньев:

Если комплексно-частотные характеристики звеньев заданы графически, то их произведение находится по правилу перемножения векторов (рис. 1 – 38), т.е. аргументы векторов складываются, а модули перемножаются. Отсюда следует, что амплитудно-частотная характеристика системы, состоящей из последовательно-соединенных звеньев, равна произведению амплитудно-частотных характеристик этих звеньев, а фазо-частотная характеристика  сумме фазо-частотных характеристик звеньев.

Параллельное соединение звеньев

Полагая, что система состоит из трех параллельно-соединенных звеньев (рис. 1 – 39), найдем связь между входом системы и ее выходом.

При данном соединении входная величина системы подается на вход всех звеньев, а ее выходная величина равна сумме выходных величин звеньев. Выход каждого звена связан со входом выражениями:

x₁(p)=W₁(p)x_вх(p);

x₂(p)=W₂(p)x_вх(p);

y(p)=W₃(p)x_вх(p).

Решая эту систему уравнений, находим:

.

Следовательно, передаточная функция системы, состоящей из трех параллельно-соединенных звеньев, будет равна:

. (161)

Таким образом, передаточная функция системы, состоящей из параллельно-соединенных звеньев, равна сумме передаточных функций этих звеньев.

Следовательно, комплексно-частотная характеристика системы, состоящей из параллельно-соединенных звеньев, равна сумме комплексно-частотных характеристик звеньев:

iJ()

Если комплексно-частотные характеристики звеньев заданы графически, то комплексно-частотная характеристика системы находится по правилу сложения векторов – правилу параллелограмма (рис. 1 – 40).

Рис. 1 – 40

Охват звена обратной связью

Для звена, охваченного обратной связью (рис. 1 – 41), найдем зависимость между входом в систему и ее выходом. При данном соединении на вход звена, кроме входной величины системы, подается и ее выходная величина с отрицательным знаком. Такая связь, нашла исключительно большое применение в системах автоматического управления для коррекции динамических свойств регуляторов и системах управления. Как видно из рис. 1 – 41, передаточная функция звена, охваченного обратной связью, находится из выражения:

.

Сделав преобразования, получим:

.

Следовательно, передаточная функция системы, состоящей из звена, охваченного обратной связью, определяется выражением:

. (162)

Соответственно, комплексно-частотная характеристика будет определяться формулой:

(163)

Комплексно-частотную характеристику системы легко получить и в том случае, если комплексно-частотная характеристика звена задана графически (рис. 1 – 42).

Для этого необходимо обратить внимание, что знаменатель формулы (63) для частоты =₁ является разностью вектора W(i₁) для этой же частоты и вектора единичной длины, направленной вдоль отрицательной вещественной полуоси, т.е.

.

Отсюда следует, что вектор ф(i₁) системы, состоящей из звена, охваченного обратной связью, для частоты ₁ находится как частное от деления вектора исходного звена W(i₁) на вектор, проведенный к концу вектора комплексно-частотной характеристики звена W(i₁) с этой же частоты из точки, расположенной на отрицательной вещественной полуоси на единичном расстоянии от начала координат.

§ 1-9 Динамические характеристики типовых теплотехнических объектов

Несмотря на большое разнообразие динамических свойств, промышленных объектов управления, можно отметить некоторые специфические особенности, присущие теплотехническим объектам, позволяющие разработать универсальный подход к настройке систем управления в промышленных условиях. Выше (см. § 1-4) отмечалось, что промышленные объекты управления можно классифицировать как объекты с самовыравниванием и объекты без самовыравнивания. Остановимся подробнее на рассмотрении динамических свойств этих объектов.

1. Переходные характеристики промышленных объектов управления относительно ступенчатого регулирующего воздействия представляют собой монотонные функции времени (рис. 1- 43), причем для объектов с самовыравниванием переходная характеристика имеет вид, подобный характеристики на рис. 1 – 43а, а для объектов без самовыравнивания – на рис.1–43б.

Здесь постоянную времени объекта с самовыравниванием можно найти, если провести касательную к точке перегиба кривой разгона (где скорость изменения параметра будем максимальной) и измерить отрезок по оси времени, отсекаемый касательной при установившихся значениях регулируемого параметра (рис. 1 – 43а).

Запаздывание объекта  _об находится как отрезок на оси времени, отсекаемый касательной к точке перегиба от начала координат. При этом необходимо отметить, что в большинстве тепловых управляемых объектов имеет место так называемое чистое или транспортное запаздывание _тр и емкостное запаздывание _ем, характеризуемое наличием аккумулирующих емкостей в виде промежуточных баков, поверхностей раздела сред и т.д. Поэтому, в общем случае, время запаздывание объекта  _об , получаемое в результате обработки экспериментальной переходной характеристики представляет собой сумму транспортного и емкостного запаздывания:

_об=_тр+_ем. (164)

В этих условиях величина отношения достаточно хорошо характеризует динамические свойства управляемого объекта и часто используется для нахождения параметров настройки регуляторов в промышленных условиях. Как правило, отношение лежит в пределах от 0,2 – для малоинерционных объектов, до 0,6+0,7 – для инерционных объектов.

Объекты без самовыравнивания, помимо величины запаздывания, _об характеризуется углом наклона кривой разгона к оси времени  , причем угол наклона при единичном входном сигнале определяется коэффициентом усиления объекта (рис. 1 – 43б).

2. Комплексно-частотные (рис. 1 – 44) и амплитудно-частотные (рис. 1 – 45) характеристики теплотехнических объектов представляют собой монотонно-убывающие с ростом частоты функции, характер которых для объектов с самовыравниванием показан на рис. 1 – 44а и 1 – 45а, а для объектов без самовыравнивания – соответственно на рис. 1 – 44б и 1 – 45б.

A()

Из рассмотрения комплексно-частотной и амплитудно-частотной характеристик видно, что с увеличением частоты колебаний их амплитуда после прохождения через управляемый объект уменьшается и при высоких частотах становится очень малой.

Это говорит о том, что теплотехнические объекты управления плохо пропускают колебания высокой частоты, являясь низкочастотными фильтрами. Частота колебаний, при которой амплитуда выходных колебаний становится настолько мала, что практически не может быть обнаружена, называется частотой среза  _ср.

В качестве примера объектов управления с самовыравниванием можно привести пароперегреватель котла (температура на выходе из которого определяется расходом топлива, воздуха и количеством вспрыскиваемого конденсата), теплообменник (температура среды на выходе из которого определяется количеством подводимого тепла) и т.д.

Характерным примером объекта без самовыравнивания является участок управления уровня в барабане котла, значение которого будет изменяться до бесконечности (при отсутствии управляющего воздействия) в случае, если расход питательной воды и расход пара из котла не будут равны.

Зная отмеченные особенности теплотехнических объектов управления, для приближенного описания динамических свойств объектов с самовыравниванием можно рекомендовать одну из следующих аппроксимирующих функций:

а) аппроксимация динамических характеристик объекта в виде последовательно включенных апериодического и запаздывающего звеньев:

. (165)

б) аппроксимация динамических характеристик объекта последовательно соединенных звеном запаздывания и двумя апериодическими звеньями:

. (166)

в) аппроксимация в виде последовательно соединенных апериодических звеньев:

. (167)

Для оценки динамических свойств без самовыравнивания, как правило, используется аппроксимация динамических характеристик в виде последовательно включенных интегрирующего и запаздывающего звеньев:

. (168)

Использование вышеперечисленных аппроксимаций позволяет, подобрав коэффициенты к, , и Т, математически описать динамические характеристики объекта с достаточной точностью, что необходимо при исследовании и моделировании систем автоматического управления на аналоговых и цифровых вычислительных машинах.

§ 1-10 Экспериментальные методы нахождения динамических характеристик объектов управления

При анализе реальных линеаризованных систем автоматического управления часто затруднительно точно найти их дифференциальные уравнения и его коэффициенты, определяемые как динамическими свойствами регуляторов, так и свойствами объекта управления. В этих случаях целесообразно экспериментальное нахождение динамических характеристик объектов управления с последующей обработкой их и нахождения соответствующей передаточной функции. В настоящее время в промышленных условиях используют один из трех методов нахождения характеристик объектов управления:

1. определение переходной характеристики (кривой разгона);

2. определение импульсной переходной характеристики;

3. определение частотной характеристики.

Необходимо отметить, что для правильного описания свойств объектов управления любым из вышеперечисленных методов требуется знание динамических характеристик, снятых по основному каналу, т.е. по каналу регулирующего воздействия, определяющего устойчивость системы автоматического управления.

Переходные характеристики могут быть найдены в результате нанесения по возможности мгновенного единичного ступенчатого возмущения по основному каналу с последующей регистрацией изменения во времени регулируемой величины.

При этом необходимо помнить, что до нанесения единичного ступенчатого возмущения, объект должен находиться в состоянии равновесия, и, по возможности, должны отсутствовать возмущения по другим каналам, искажающие результаты эксперимента. Величина ступенчатых возмущающих воздействий должна быть значительно больше, чем всегда существующие, малые эксплуатационные возмущения, но такой, чтобы регулируемая величина не выходила за кратковременно допустимые технологические пределы. Снятие переходной характеристики следует осуществить не менее 2 – 3 раз с целью получения усредненной характеристики. Дальнейшая обработка переходной характеристики с целью определения Т_об, _об, к_об осуществляется в соответствии с рис. 1 – 43.