5.3.Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания

Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному (квантованному по времени) виду называется квантованием (рис. 5.4). Такая процедура отражает как реальные процессы, происходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации.

Рис. 5.4. Квантование непрерывного сигнала

В результате квантования получается импульсная последовательность

x(kT) (решетчатая функция), которая при t = kT совпадает с исходным сигналом:

,

а в другие моменты времени она не определена. Потеря информации при квантовании зависит от величины интервала квантования Т или частоты квантования

.

Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической

возможности восстановления исходного сигнала по полученой в результате квантования импульсной последовательности (дискретной выборке), что отражает содержание известной теоремы прерывания (теоремы Котельникова – Шеннона).

Рассмотрим задачу нахождения сигнала x(t) по известной решетчатой функции x(kT), полагая, что спектр сигнала x(t) ограничен частотой .

Тогда в соответствии с теоремой прерывания, точное восстановление функции x(t) теоретически возможно при условии, что частота квантования

более чем в 2 раза превосходит наибольшую частоту :

,

а для интервала квантования выполняется

.

Приведенный результат широко используется в задачах идентификации динамических систем и дискретизации непрерывных моделей.

5.4.Использование z - преобразования

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой [3]

, (5.6)

где , - абсцисса абсолютной сходимости. Если , то ряд, определяемый формулой (5.6) сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение, являющееся функцией величины .

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z - преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.

Под z – преобразованием понимается изображение решетчатой функции, определяемое формулой

. (5.7)

Здесь введено обозначение . Откуда следует, что z – преобразование

практически совпадает с дискретным преобразование Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения. Из основного выражения следует:

Рассмотрим разностное уравнение вида

.

Если ввести предположение, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю при n < 0 и, кроме того, функция f[n] прикладывается в момент времени n = 0, то переход к z - изображению дает

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в дискретных и цифровых система, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах.