Задания для активного обучения

Тема 1. Численное решение нелинейных уравнений

1. Постановка задачи

Приближенное решение нелинейных уравнений с одним неизвестным вида f(x)=0 с применением численных итерационных методов является одной из тех задач, которые наиболее часто встречаются в практике инженера. В общем случае задача не разрешима, поскольку для нелинейных функций не существует выражения в виде формулы с конечным числом алгебраических действий или они достаточно громоздки (например, для алгебраических уравнений третьего порядка). В подобных задачах применяют численные методы приближенного решения заданного уравнения с любой наперед заданной точностью.

Задача решения уравнения вида

f(x)=0, (1)

где f(x) – некоторая функция от x, представляет собой задачу об отыскании корней функции ‑ значений x, которые обращают уравнение (1) в тождество.

В учебном пособии рассматривается отыскание приближенных значений действительных корней уравнения (1). Примем для исследования в данном проекте функцию f(x) вида

f(x)=ax³+bx²+cx+d, (2)

где коэффициенты заданы значениями: a=1; b=2; c=-3; d=-1.

Решение задачи распадается на два этапа:

1. Отделение корня – выделение отрезка a,b, принадлежащего области определения функции f(x), на котором существует только один корень x_k уравнения (1). Границы этого отрезка можно рассматривать как первое приближение искомого значения корня (левая граница с недостатком, правая – с избытком).

2. Уточнение найденного приближенного значения корня с любой заданной точностью (eps), т.е. нахождение более узкого отрезка a₁,b₁, который содержится в отрезке a,b и также содержащий единственный корень x_k.

Для отделения корней уравнения (1) нужно выполнить следующие действия

1. Исследовать критические точки (границы интервалов монотонности) функции f(x). Определить критические точки функции по формулам корней первой производной, аналитическим и табличным способами. Отобразить результаты исследования критических точек функции на диаграмме (графике функции).

3. Исследовать интервалы, где существует единственный корень функции. Отделить корни функции аналитическим и табличным способами. Отобразить результаты исследования на диаграмме (графике функции).

4. Произвести оценку погрешности найденного приближенного значения корня.

5. Исследовать эффективность способов отделения корня различными способами в электронных таблицах.

Для уточнения найденного приближенного значения корня уравнения (1) с любой заданной точностью eps нужно выполнить следующие действия.

1. Выбрать способ уточнения (табличный, графический, итерационный).

6. Произвести уточнение приближенного значения корня уравнения табличным и графическим способами.

7. Произвести уточнение итерационным методом.

8. Исследовать эффективность способов уточнения корня различными способами в электронных таблицах.

Исследование области определения функции f(x).

В проекте рассматриваются функции f(x), которые заданы аналитически (посредством формул) (Приложение 1). Исследование области определения функции и области ее изменения – это первый вопрос, на который надо ответить при исследовании функции.

Алгоритм 1.1. Исследование области определения функции f(x)

Функция y=f(x), в которой каждому значению x (независимой переменной) из множества X ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины y (зависимой переменной), является определенной на множестве X. Множество X – это область естественного определения функции или область существования. Множество Y – множество всех значений, которые принимает при этом переменная y, называется областью изменений функции y= f(x).

Область существования функции определяется формулой, задающей функцию, а ее область определения задается условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления. То есть областью определения функции f(x) может быть любая часть области существования функции или они могут полностью совпадать.

Таким образом, когда говорят, что дана функция y=f(x), считают, что дана ее область определения X – она либо указано явно, либо ее надо предварительно найти с использованием математического анализа. Например, если по условию задачи нужно найти корень уравнения f(x)=0 на интервале [A,B], то область определения функции y=f(x) есть интервал [A,B].

Пример 1.1. Исследование области существования и определения функции y=f(x) вида (2)

Пусть дана f(x)=ax³+bx²+cx+d, где a,b,c,d – некоторые фиксированные числа, не равные нулю. Тогда каждому действительному числу  можно поставить в соответствие одно действительное число y= a³+b²+c+d. То есть область существования функции y=ax³+bx²+cx+d – это множество всех действительных чисел [‑,+]. Если по условию задачи нужно найти корни уравнения f(x)=0, то область определения функции y=f(x) полностью совпадает с ее областью существования. Критические точки функции xk, которые являются корнями уравнения первой производной f(x)=0, делят область определения на интервалы монотонности. Для исследования функции y=f(x) область определения [‑,+] нужно сузить.

Исследование области существования и определения функции y=f(x) видов, которые даны в Приложении 1, приведено в Приложении 2.