Метод касательных (метод Ньютона)
Метод касательных (также известный как Метод Ньютона) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b]. Пусть на [a,b] есть корень xк и только один, т. е. f(a)*f(b)<0, а первая и вторая производные функции f1(x), f2(x) существуют, отличны от нуля и сохраняют знак.
Основную идею метода касательных проиллюстрируем на его геометрической интерпретации.
Основная идея метода касательных заключается в следующем. Задаётся начальное приближение x1 (k=1) вблизи предположительного корня xк. Для того, чтобы точка пересечения x2 касательной с осью Ox лежала внутри [a,b], касательную надо проводить через тот конец интервала [a,b], где знак функции f(x) и второй производной f2(x) совпадают (f(x1), f2(x1)>0). Строится касательная к графику исследуемой функции f(x) в точке приближения (x1,f(x1), для которой находится точка пересечения x2 с осью Ох (f(x2)=0). Эта точка с координатами (x2,f(x2)) берётся в качестве следующего (второго) приближения x2 (k=2) корня уравнения f(x)=0 на интервале [a,b].
Уравнение касательной к графику функции f(x)в точке (x1,f(x1)) имеет вид
y- f(x1)= f1(x1)(x- x1)
Так как y=0 при x= x2, то введя замену x на x2 получим формулу для вычисления приближения x2
x2= x1- f(x1)/f1(x1).
Введя замену x1 на xk, а x2 на xk+1 получим итерационную формулу метода касательных
xk+1= xk- f(xk)/f1(xk). (24)
Методами математического анализа можно доказать, что последовательность x1,x2…, xk есть последовательность приближённых значений корня xк, она монотонна, сходится и её предел равен истинному значению корня xк, процесс закончить, когда |xk+1- xk |<eps (см.п. 3, (21), (22)).
Алгоритм 3.2. Уточнение приближенного значения корня уравнения f(x)=0 методом касательных
На основе данных, полученных в результате отделения единственного корня на интервале [a,b] (см. п.2) определить границу интервала (a или b), на которой знаки функции f(x) и второй производной f2(x) совпадают. Найденное значение границы интервала принимается за начальное приближение x1 корня xк уравнения f(x)=0 на интервале [a,b].
Определяется второе приближение корня x2 по итерационной формуле метода касательных (24).
Вычислить значения функции f(x2) и первой производной f1(x2).
Исследовать достижение заданной точности eps оценки корня xк, на интервале a,b, проверив логическое условие останова процесса уточнения корня |xk+1- xk |<eps. Если условие выполняются (погрешность оценки не превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня xк, функции f(x) на интервале a,b нужно закончить. За значение корня xк принимается значение xk, полученное на последней итерации
Итерационный процесс уточнения корня продолжают до тех пор, пока не выполнено условие останова при достижении заданной точности. Определяется следующее приближение корня xk+1 по итерационной формуле метода касательных (24).
Пример 3.2. Уточнение приближенного значения корня уравнения f(x)=0 методом касательных
Следуя инструкциям Алгоритма 3.2, выполнить следующие действия.
На основе данных, полученных в результате отделения единственного корня на интервале [-3;-2,5] (см. п.2) определим границу интервала (-3 или -2,5), на которой знаки функции f(x) и второй производной f2(x) совпадают (рис. 3.5).
Рис.3.5. Электронная таблица уточнения корня методом касательных
Создадим электронную таблицу для проверки условия (f(x1), f2(x1)>0). Продолжим Пример 3.1. В ячейку А55 введем значение -3, а в ячейку А56 – значение -2,5. В ячейку B55 введем (или скопируем) формулу вычисления значения функции (см. п.1 пример 3.1). Ввести в ячейки C55 и D55 формулы для вычисления первой и второй производной функции f(x) (см. Пример 2.2), которые скопировать в ячейки C56 и D56. Условие f(x1), f2(x1)>0 выполняется для значения x1=-3. Найденное значение границы интервала принимается за начальное (первое, k=1) приближение x1 корня xк уравнения f(x)=0 на интервале [-3;-2,5].
Определяется второе приближение корня x2 (k+1=2) по итерационной формуле метода касательных (24).
Создадим электронную таблицу итерационного процесса (см. рис. 3.5). В ячейку А59 ввести значение -3, а в ячейки В59 и С59 скопировать формулы вычисления функции и первой производной, соответственно («Специальная вставка») (см. пример 3.1, п.1). В ячейку А60 ввести формулу для вычисления следующего приближения по итерационной формуле (24)
=А57-В57/С57.
В результате получим x2=-2,91667. Это значение показывает, что итерационный процесс сходящийся, т.к. x2 значение находится внутри интервала [-3;-2,5].
Вычислить значения функции f(x2) и первой производной f1(x2). Выделить ячейки В59 и С59и скопировать формулы в ячейки В60 и С60, применив способ копирования «протаскиванием курсора мыши» ‑ подвести указатель мыши к черному квадратику в правом нижнем углу ячейки С59, курсор примет вид черного крестика, перетащить крестик на одну строку ниже (в ячейку С60). В результате получим значения f(x2)=-0,048 и f1(x2)=10,854 (см. рис.3.5).
Исследовать достижение заданной точности eps оценки корня xк, на интервале a,b, проверив логическое условие останова процесса уточнения корня |xk+1- xk |<eps, применив оператор ЕСЛИ( ). Выделить ячейку Е60, в которую ввести формулу (см. рис.3.5)
=ЕСЛИ(ABS(A59-A60)<D60;”Точность достигнута”;”Нет”).
Результат проверки логического условия в ячейке Е60 показывает (см.рис.3.5), что заданная точность на первом шаге уточнения корня не достигнута, и, согласно Алгоритма 3.2, итерационный процесс уточнения корня нужно продолжать – перейти ко второй итерации (k=2).
Определить следующее приближение корня xk+1 (x3) итерационной формуле метода касательных (24). Повторить пп. 2-4. В результате получим: x3=-2,91224 (Точность не достигнута); x4=-2,91223 (Точность достигнута). Итерационный процесс уточнения корня xк, функции f(x) на интервале -3;-2,5] нужно закончить, поскольку логическое условие останова |x4- x3 |<eps выполняется. За значение корня xк принимается значение x4=-2,91223, полученное на последней итерации