4. Исследование эффективности способов отделения корня в электронных таблицах

Провести анализ значений x в критических точках, найденных аналитическим и графическими методами. Диаграмма более наглядно отображает значения f(x), f1(x) по сравнению с аналитическим способом, но точность определения значения аргумента в критических точках на диаграмме MS Excel значительно уступает точности аналитического метода.

3. Уточнение приближенного значения корня

Погрешность, которая возникает при самом неблагоприятном выборе приближенного значения корня x₁ уравнения f(x)=0 на интервале a,b вместо искомого x_к (которое неизвестно), в соответствии с формулой (13) будет тем меньше, чем меньше длина (b-a) этого интервала. Таким образом, в интервале существования единственного корня нужно найти более узкий интервал a₁,b₁, также отделяющий корень x_к, удовлетворяющий неравенству

a<=a₁< x_к<b<=b₁, где b₁,- a₁<a-b.

Этот интервал обеспечит более точное приближение корня. Построение такого отрезка a₁,b₁ называют уточнением корня.

Процесс уточнения корня – итерационный. Уточнение корня на k-итерации обозначим x^k. Методы уточнения корня отличаются способом выбора такой точки x^k (x^k  x_к), которая делит интервал a,b на два интервала a,x^k и x^k,b, один из которых содержит искомый корень x_к. Методы уточнения корня на интервале a,b отличаются способом выбора точки x^k.

Итерационный процесс уточнения продолжают до тех пор, пока не выполнено условие останова при достижении заданной точности. Применяют следующие критерии останова итерационного процесса уточнения корня, которые оценивают достижение погрешности определения корня x_к, на интервале a,b, удовлетворяющей заданной точности eps:

• f(x^k )<eps (21)

‑ значение функции на k-й итерации стало меньше eps.

• x^k ‑ x^k-1<eps (22)

‑ изменение x^k в результате k-й итерации стало меньше eps.

В проекте предлагается сравнить эффективность двух методов уточнения корня на интервале существования единственного корня (см. п.1):

1. Табличный метод уточнения с отображением рядов данных на диаграмме.

2. Метод касательных (метод Ньютона).

1. Табличный метод уточнения корня с отображением рядов данных на диаграмме

Алгоритм 3.1. Уточнение приближенного значения корня уравнения f(x)=0 табличным методом

1. По данным интервала a,b, на котором существует единственный корень (см. п.2), вычислить ряд значений x: задать начальное значение ряда x=a и шаг по x, равный 0,1*(b-a). Для полученных значений ряда значений x вычислить ряд значений функции f(x) (рис. 3.1).

2. Отобразить ряды значений x и f(x) на точечной диаграмме (см. рис. 3.1). Выполнить форматирование оси x на диаграмме, установив в диалоговом окне Формат оси фиксированную цену основных и промежуточных делений с учетом новых (более узких границ) интервала на k-й итерации (k=1,2,…).

3. Исследовать значения функции f(x) на границах a1,b1 интервала значений x, заданных таблично, аналитическим методом, проверив выполнение необходимого условия существования корня с помощью логической функции ЕСЛИ( ) (см. Алгоритм 2.2). Отделить приближенное значение корня x^k на k-й итерации (k=1,2,…) ‑ уточнить корень.

4. Отделить приближенное значение корня x^k на k-й итерации на диаграмме. Сравнить значения x^k, полученные аналитическим и графическим методами.

5. Исследовать достижение заданной точности eps оценки корня x_к, на интервале a,b, проверив логическое условие останова процесса уточнения корня

f(b1)<eps (23)

6. . Если условия выполняются (погрешность оценки не превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня x_к, функции f(x) на интервале a,b нужно закончить. За значение корня x_к принимается значение x^k=b1, полученное на последней итерации.

7. Если условия не выполняются (погрешность оценки превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня нужно продолжить, повторив пп.1-5 для интервала a1,b1. По данным интервала  a1,b1, на котором существует единственный корень (см. п.2), вычислить ряд значений x. Для этого в ячейках электронной таблицы нужно заменить начальное значение ряда x=a1 и шаг по x, равный 0,1*(b1-a1). В результате замены будет выполнен автоматически пересчет рядов значений x и функции f(x) и их отображение на точечной диаграмме также будет изменяться автоматически.

Рис. 3.1. Уточнение корня табличным методом на интервале [-3;-2,5] с отображение рядов данных на диаграмме

Пример 3.1. Уточнение корня табличным методом

Следуя инструкциям Алгоритма 3.1, выполнить следующие действия.

1. По данным интервала -3;-2,5, на котором существует единственный корень (см. п.2), вычислить ряд значений x. В ячейках электронной таблицы F44 и F46 нужно задать начальное значение ряда x=-3 и шаг по x, равный 0,1*(-3-2,5)=0,05, соответственно (см. рис. 3.1). Выделить ячейку А43 и ввести формулу =F44 для копирования начального значения ряда. Выделить диапазон А44:А52 и ввести формулу =А43+$F$46 в ячейку А44 для вычисления ряда значений x по формуле арифметической прогрессии, которую скопировать на диапазон (<Ctrl+Enter>). Для полученных значений ряда значений x в диапазоне А43:А52 вычислить ряд значений функции f(x) (рис. 3.1). Выделить диапазон В43:В52 и в ячейку В43 ввести или выполнить команды Копировать и Вставить с использованием «Специальная вставка» формулы для вычисления значения функции ==$A$2*A43^3+$B$2*A43^2+$C$2*A43+$D$2 (см. Пример 2.2). Скопировать формулу на диапазон В43:В52 (<Ctrl+Enter>).

2. Отобразить ряды значений x и f(x) на точечной диаграмме (см. рис. 3.1). Выделить диапазон А43:В52, содержащий значения базовых рядов «Ряд Х» и «Ряд f(x)» для отображения на диаграмме. Выбрать на ленте вкладку Вставить, далее в разделе Диаграммы выбрать тип диаграммы ‑ щелкнуть кнопку Точечная. В открывшемся меню выбрать подтип Точечной диаграммы – Точечная с гладкими краями. Выполнить форматирование оси Ox на диаграмме. В контекстном меню выбрать команду Формат оси. В диалоговом окне Формат оси на вкладке Параметры оси, которая открывается по умолчанию, установить значения в окнах фиксированная цена основных делений и фиксированная цена промежуточных делений значения для первой итерации 0,05 и 0,01, соответственно (см. Пример 2.4, рис. 2.5, 2,6).

3. Исследовать значения функции f(x) на границах a1,b1 интервала значений x, заданных таблично, аналитическим методом, проверив выполнение необходимого условия существования корня. Выделить диапазон С44:С52 и в ячейку С44 ввести формулу

=ЕСЛИ(В43*В44<0; “Корень существует”;”Нет”),

которую размножить на диапазон (<Ctrl>+<Enter>). Корень отделен на интервале -2,95;-2,9.

4. Приближенное значение корня x^k на 1-й итерации, отделенное на диаграмме, соответствует значению, полученному аналитическим методом (см. рис. 3.1).

5. Исследовать достижение заданной точности eps=0,00001, значение которой задано в ячейке Е48, оценки корня x_к, на интервале -3,-2,5, проверив логические условия останова процесса уточнения корня (23). Выделить диапазон D43:D52 и в ячейку D43 ввести формулу

=ЕСЛИ(ABS(В43)<E48; “Точность достигнута”;”Нет”),

которую размножить на диапазон (<Ctrl>+<Enter>). Корень, который отделен на интервале -2,95;-2,9, не удовлетворяет требованиям заданной точности. Условие (23) не выполняется (погрешность оценки превышает заданную точность eps) и итерационный процесс уточнения корня нужно продолжить, повторив пп.1-5 для интервала -2,95;-2,9. Для этого в ячейках электронной таблицы Е44 и Е46 нужно ввести новое начальное значение интервала (-2,95) и шага по x, равного 0,001, соответственно. В результате замены будет выполнен автоматически пересчет рядов значений x и функции f(x) и их отображение на точечной диаграмме также будет изменяться автоматически.

6. Если условия выполняются (погрешность оценки не превышает заданную точность eps), то итерационный процесс уточнения корня x_к, функции f(x) на интервале -3;-2,5 нужно закончить. За значение корня x_к принимается значение -2,9122, полученное на последней итерации (рис. 3.2).

Рис. 3.4. Достижение заданной точности уточнения корня табличным методом.