3. Оценка погрешности приближенного значения корня

Оценка абсолютной погрешности

Пусть x= x_к – точное значение корня уравнения f(x)=0 на интервале a,b, x=x₁ – приближенное значение. Ошибкой приближенного значения корня x₁ называют разность x_к- x₁. Поскольку точное значение x_к неизвестно, то и величина ошибки не может быть определена. На практике применяют оценку ошибки – абсолютную величину ошибки сверху приближенного значения корня x₁, которую называют абсолютной погрешностью приближенного значения корня. Обозначая абсолютную погрешность корня x₁ символом ∆(x₁,) получим

x_к- x₁<∆(x₁), (11)

Условно можно говорить, что приближенное значение x₁, выражает точное значение корня уравнения f(x)=0 на интервале a,b с абсолютной погрешностью ∆(x₁,). Из неравенства (11) следует

x₁,‑ ∆(x₁) < x_к < x₁+ ∆(x₁). (12)

Так как корень отделен на интервале a,b, то

a < x_к < b.

и каково бы ни было значение x₁, на интервале a,b можно принять

∆(x₁) = a-b (13).

Если в качестве значения x₁ принято значение a (левая граница интервала) или b, то имеем значение x_к с недостатком (14) или с избытком (15)

a‑ ∆(x₁) < x_к < a+ ∆(x₁). (14)

b‑ ∆(x₁) < x_к < b+ ∆(x₁). (15)

Например, если длина интервала -3;-2,5 равна 0,5 (см. рис. 2.2, табл. ряда значений x), то это означает, что таблица значений x вычислена с абсолютной погрешностью, равной 0,5, что в соответствии с (14) и (15) имеем значение корня с недостатком (-3,5 < x_к <-2,5) или с избытком (-3 < x_к <-2).

Если в качестве значения x₁ принята внутренняя точка интервала a,b, то без дополнительного исследования нельзя указать, с какой стороны относительно x_к расположено приближенное значение корня x₁.

Если в качестве приближенного значения корня x₁ принять середину интервала a,b, т.е. положить x_к=(a+b)/2, то ошибку можно оценить точнее

∆(x₁) = a-b/2, (16)

но при этом может оказаться, что точное значение корня расположено ближе к a,чем к b.

Например, если в качестве приближенного значения корня x₁ принять середину интервала -3;-2,5, т.е. положить x_к=(a+b)/2=-2,75, то абсолютная погрешность определения корня в соответствии с (16) равна ∆(x₁)=0,25 и оценка приближенного значения корня x_к на интервале -3;-2,5 определяется выражением

2,75-0,25<x_к<2,75+0,25.

Оценка абсолютной погрешности для значения приближенного значения корня внутри интервала

Рассмотренные оценки абсолютной погрешности приближенного значения корня уравнения f(x)=0, отделенного на интервале a,b, фактически не зависят от самого уравнения, а зависят лишь от длины интервала, на котором отделен корень. Если функция f(x) дифференцируема внутри a,b, то тогда оценки погрешности могут быть улучшены.

Пусть x₁ любая точка на интервале a,b, где отделен единственный корень x_к, а  ‑ некоторая точка, расположенная между x_к и x₁. Тогда по теореме Лагранжа

f(x₁) ‑ f(x_к)= f1()(x₁ -x_к) или f(x₁)= f1()(x₁ -x_к), так как f(x_к)=0 (17).

Приближенное значение корня x₁ не совпадает с точным значением x_к, следовательно f(x₁) не равно нулю, а в силу (17) и f1() также не равно нулю. Тогда из (17) следует, что

(x_к –x₁)=-f(x₁)/ f1() (18)

Полагая, что функция на интервале a,b монотонна, т.е. f1(x)>=m, то в выражении (18) введем замену

 f1()<=f(x₁)/m

и для оценки погрешности отделения корня получим выражение

∆(x₁) = f(x₁)/m. (19)

Например, на интервале -3;-2,5 производная функции f1(x) принимает значения в диапазоне от 12 до 5, 75. Приняв за значение x₁=2,75 (середину интервала -3;-2,5) (16), положим m9, округлив значение (12+5,75)/2 (см. рис.2.2, таблица ряда значений f1(x)), а значение функции f(x₁)на середине интервала примем равным 1,2(3,375-1)/2. Тогда оценка погрешности отделения корня ∆(x₁) в соответствии с (19) будет определяться выражением

∆(x₁)1,2/90,15.

Для оценки погрешности отделения корня наилучшей является та оценка, которая дает наименьшее значение ∆(x₁). Таким образом, на интервале -3;-2,5 наименьшей оценка отделения корня является оценка, полученная по формуле (19), равная 0,15 (по сравнению с оценкой, равной 0,25 по формуле (16)), т.е.

2,75-0,15<x_к<2,75+0,15.

Оценка относительной погрешности

Степень точности оценки приближенного значения корня ∆(x₁) на интервале a,b зависит не только от абсолютной погрешности, но и от вычисляемой величины x₁. Поэтому за меру оценки точности приближенного значения принимают относительную погрешность. Относительной погрешностью (a) приближенной величины x₁ называют отношение ее абсолютной погрешности к модулю самой величины.

( x₁)= ∆(x₁)/x₁. (20)

Например, оценка относительной погрешности отделения корня ∆(x₁) на интервале -3;-2,5 в соответствии с (16) и (19) по формуле (20) будет определяться значениями ( x₁)=0,25/2,750,1 (6) и ( x₁)=0,15/2,750,05 (19).