13.2 Интегральная форма закона полного тока

Количественная связь между циркуляцией вектора Н по замкнутому контуру и током внутри контура определяется законом полного тока в интегральной форме — линейный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равен полному току, пронизывающему замкнутый контур:

. (13.3)

Под полным током понимают весь ток (ток проводимости и ток смещения), пронизывающий контур интегрирования.

Интегральную форму закона полного тока применяют, когда может быть использована симметрия в поле. Так, например, напряженность поля в некоторой точке А в поле уединенного прямого провода с током I (рис. 13.2) по закону полного тока определяют следующим образом. Проведем через точку А окружность радиусом R в плоскости, перпендикулярной оси провода, так что центр ее находится на этой оси. В силу симметрии напряженность поля во всех точках окружности численно одна и та же. Направление напряженности совпадает с касательной к окружности. Поэтому

; .

С увеличением радиуса R напряженность магнитного поля убывает по гиперболическому закону.

Если какое-либо поле имеет сложный характер и не удается составить замкнутый контур, все точки которого находились бы в симметричных условиях, то хотя интегральная форма записи закона полного тока справедлива и для такого контура, использовать ее для нахождения напряженности в любой точке поля так просто не удается (нельзя вынести из-под знака интеграла).

13.3. Дифференциальная форма закона полного тока

Соотношение (13.3) пригодно для контура любых размеров, в том числе и для весьма малого. Выделим в какой-либо среде небольшой контур («жирно» обведен на рис. 13.3) и составим вдоль него циркуляцию вектора Н. Циркуляция напряженности поля вдоль этого контура равна току, пронизывающему обведенную площадь. Если площадь мала, то можно полагать, что плотность тока  в пределах этой площади одинакова и тогда ток, пронизывающий площадь, i = S = _nS. Здесь _n — проекция вектора плотности тока  на нормаль к площади, т. е. на направление S; .

За положительное направление нормали к площади принимают направление движения острия правого винта, головка которого вращается в направлении, принятом за положительное при обходе контура и составлении циркуляции.

Рис. 13.3. Иллюстрация к дифференциальному закону полного тока.

Разделим обе части равенства на S и устремим S к нулю. Это будет соответствовать стягиванию рассматриваемой площади к нулю. Предел полученного отношения

В левой части равенства находится величина, которая является проекцией ротора Н на направление нормали к площади S. Следовательно, rot_n Н = _n. Если площадь S ориентировать в пространстве так, что направление нормали к ней совпадет с направлением вектора плотности тока  в данной точке поля, то тогда вместо равенства проекций двух векторов (rot_nН и _n) можно записать равенство самих векторов

rot Н = . (13.4)

Формула (13.4) и представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме.

Ротор — это функция, характеризующая поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей.

Уравнение (13.4) записано в общей форме, безотносительно к системе координат, и в каждой конкретной системе координат оно раскрывается по-своему.

13.4. Раскрытие выражения rot Н =  в декартовой системе координат

Равенство двух векторов rot Н и  означает, что равны проекции их на ось х, проекции на ось у и проекции на ось z. Проекция rotН на ось z равна , проекция вектора  на ось z есть _z и т. д.

На рис. 13.4 в декартовой системе координат изображен малый прямоугольный контур mnpq. Обойдем этот контур против часовой стрелки и составим циркуляцию вектора Н; при ее составлении необходимо учесть изменение вектора H от точки к точке. Обозначим проекции Н на оси х и у в точке m соответственно через Н_x и H_y.

В точке n проекция на ось x изменится по сравнению с проекцией в точке m и будет равной ; проекцией на ось y будет . В точке q и . В точке p + и .

При составлении циркуляции на участках mn и рq необходимо принимать во внимание лишь «иксовые» составляющие Н ( «игрековые» составляющие перпендикулярны элементу пути ).

Составляющую на участке mn находят как произведение среднего значения «иксовой» составляющей напряженности на этом участке на длину пути dx