13.12. Уравнение Пуассона для вектора-потенциала

Умножим обе части (13.4) на магнитную проницаемость среды _a:

_arotH = _a.

Условимся, что будем иметь дело с полями, которые можно подразделить на отдельные области, так что магнитные проницаемости _a в каждой отдельной области постоянны. Если _a постоянна, то ее можно подвести под знак ротора:

Rot _aH = rot В = _a. (13.16)

В (13.16) вместо В подставим rot A, тогда

rot rot A = _a. (13.17)

Операция взятия ротора от ротора есть по сути дела операция раскрытия двойного векторного произведения и выполняется так:

rot rot А =[[ А]] = grad divA - ²A = _a. (13.18)

Из курса математики известно, что двойное векторное произведение раскрывается следующим образом: [a [bc]] = b (ас)-с(а ).

В данном случае роль векторов a и b играет оператор , а роль вектора с — вектор-потенциал А. Таким образом, [[A]] =  (A) — A () = grad div A — ²А.

До сих пор к вектору-потенциалу никаких дополнительных требований не предъявлялось, если не считать того, что он должен быть функцией, имеющей пространственные производные. Так как A есть расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно подчинить требованию:

divA = 0. (13.19)

Это требование означает, что линии вектора A есть замкнутые сами на себя линии. С учетом (13.19) уравнение (13.18) приобретает вид:

²A = - _a. (13.20)

Уравнение (13.20) представляет собой уравнение Пуассона и составлено относительно векторной величины.

Вместо A в (13.20) подставим iA_x + jA_y + kA_z: и плотность тока заменим на i_x + j_y + k_z:

²iA_x + ²jA_y + ²kA_z = - _ai_x - _a j_y - _a k_z.

Последнее уравнение разбивается на три уравнения, составленные относительно скалярных величин A_x, A_y, А_z:

²A_x = -_a_x;

²A_y = -_a_x;

²A_z = -_a_z.

Общее решение их записывают так:

; (13.21)

; (13.21a)

. (13.21б)

Если (13.21) умножить на i, (13.21а)- на j и (13.21б)- на k и сложить, то получим

iA_x + jA_y + kA_z = ,

или

. (13.22)

Единицей измерения для A является В·с/м.

Формула (13.22) дает общее решение уравнения (13.20). Вектор-потенциал в любой точке поля может быть определен путем вычисления объемного интеграла (13.22). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током. Несмотря на то, что формула (13.22) дает общее решение, пользоваться ею в дальнейшем будем редко ввиду того, что взятие интеграла правой части формулы сопряжено обычно со значительными математическими выкладками.

13.13. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала

Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность S:

. (13.23)

Так как В = rot A, то .

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный:

. (13.24)

Таким образом,

. (13.25)

Другими словами, для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь (поверхность) S, необходимо подсчитать циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность S.

Определение потока по (13.25) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию по (13.23). Соотношением (13.23) можно пользоваться в том случае, когда известно значение В в любой точке поверхности S, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (13.25) достаточно знать значение A на контуре и не требуется знание А в точках внутри контура. Переход от к интегралу можно пояснить следующим образом. Разобьем площадь S на элементарные площадки (рис. 13.7). Заменим интеграл суммой и под интегралом вместо rot А подставим в соответствии с определением ротора (предел опущен), тогда

.

Таким образом, для вычисления необходимо найти составляющие циркуляции вектора А по контурам всех элементарных площадок и затем сложить их. Так как при составлении циркуляции обход участков, являющихся смежными между какими-либо двумя соседними площадками, совершается дважды и притом в противоположных направлениях, то составляющие циркуляции на всех смежных участках взаимно уничтожаются, и остается циркуляция только по периферийному контуру mnpq:

.

Рис. 13.7 Иллюстрация к определению rotA.

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала. Если к плоскому контуру на границе раздела двух сред (подобно изображенному на рис.13.5, б и у которого размер nр  0) применить (13.25) и учесть, что поток через этот контур равен нулю, то получим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора A А_1t = A_2t

Нормальная составляющая вектора A в постоянном магнитном поле тоже непрерывна, т. е. А_1n = A_2n. Это следует из того, что для этого поля div А = 0. Но для переменного электромагнитного поля div A = , поэтому для синусоидального поля при использовании нормировки Лоренца .